第一篇：高中立體幾何教案 第一章 直線(xiàn)和平面 兩條異面直線(xiàn)所成的角和講解

高中立體幾何教案 第一章 直線(xiàn)和平面 兩條異面直線(xiàn)所成的角和距離教案

教學(xué)目標(biāo)

1．運(yùn)用類(lèi)比推理，理解引入有關(guān)概念的必要性、重要性；

2．理解、掌握有關(guān)概念的定義，并會(huì)初步應(yīng)用有關(guān)概念的定義來(lái)解題． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

這節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)都是異面直線(xiàn)所成的角和距離這兩個(gè)概念的引入，和使學(xué)生真正地理解、掌握這兩個(gè)概念．

教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

一、引入有關(guān)概念的必要性

師：我們都知道空間的兩直線(xiàn)的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面．這只是“定性”來(lái)研究對(duì)象，當(dāng)我們要“定量”來(lái)研究對(duì)象時(shí)就必需要引入一些有關(guān)的新概念．

（這時(shí)教師拿出兩根小棍做平行直線(xiàn)演示并說(shuō)）

例如a∥b，c∥d（如圖1），雖然它們都是平行直線(xiàn)，但是它們之間有什么區(qū)別呢？

生：雖然它們都是平行直線(xiàn)，但是它們的之間的距離不同．

師：對(duì)，為了區(qū)別都是平行直線(xiàn)的不同情況，也就是說(shuō)為了“定量”的研究平行直線(xiàn)，就必須引入有關(guān)“距離”這個(gè)概念．

（這時(shí)教師又拿出兩根小棍做相交直線(xiàn)，并且使其角度各有不同，并說(shuō)）

師：又例如a與b是相交直線(xiàn)，c與d也是相交直線(xiàn)（如圖2）．雖然它們都是相交直線(xiàn)，但是它們之間有什么區(qū)別呢？

生：雖然它們都是相交直線(xiàn)，但是它們的夾角大小不同．

師：對(duì)，為了區(qū)別兩相交直線(xiàn)的不同情況，也就是說(shuō)為了“定量”的研究相交直線(xiàn)就必須引入有關(guān)“角”的概念．

（這時(shí)教師又拿出兩根小棍做異面直線(xiàn)狀，并變動(dòng)其距離的大小演示給學(xué)生看，讓其觀察后，得出相應(yīng)的結(jié)論）

師：直線(xiàn)a，b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c，d也是異面直線(xiàn)，它們之間有什么不同？ 生：雖然它們都是異面直線(xiàn)，但是它們之間的距離不同．

（這時(shí)教師又拿出兩根小棍做異面直線(xiàn)狀，并變動(dòng)其所成角的大小演示給學(xué)生看，讓其觀察后，得出相應(yīng)的結(jié)論）

師：直線(xiàn)a，b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c，d也是異面直線(xiàn)，它們之間有什么不同？ 生：雖然它們都是異面直線(xiàn)，但是它們之間所成的角大小不同．

師：對(duì)，通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)為了“定量”的研究異面直線(xiàn)，必須引入異面直線(xiàn)所成的角和異面直線(xiàn)的距離這兩個(gè)概念．下面我們先來(lái)研究異面直線(xiàn)所成的角這個(gè)概念的定義．

二、異面直線(xiàn)所成的角的定義

（教師拿出兩根小棍做異面直線(xiàn)狀，演示給學(xué)生看，使其觀察如何給異面直線(xiàn)所成的角下定義）師：我們來(lái)看這模型，怎樣給異面直線(xiàn)a、b所成的角下定義？

生：可以把直線(xiàn)a平移與b相交，這時(shí)由a平移而得的a′與b相交所成的角，就可以定義為異面直線(xiàn)a與b所成的角．

師：對(duì)，但是為了使這個(gè)定義更有一般性，我們給異面直線(xiàn)所成的角做如下的定義． 定義 直線(xiàn)a，b是異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，我們把直線(xiàn)a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線(xiàn)a和b所成的角．（如圖3）

師：由定義來(lái)看，O是空間中任意一點(diǎn)，當(dāng)然我也可以在空間任意取一點(diǎn)O1，過(guò)O1分別引a1∥a，b1∥b，那么這時(shí)a1和b1所成的銳角與a′和b′所成的銳角是否相等呢？

生：相等，因?yàn)橛械冉嵌ɡ淼耐普摗叭绻麅蓷l相交直線(xiàn)和另兩條相交直線(xiàn)分別平行，那么這兩組直線(xiàn)所成的銳角（或直角）相等”．因?yàn)閍′∥a，a1∥a可推出a′∥a1，同理可推出b′∥b1，所以可用等角定理的推論．

師：對(duì)，我們?cè)谏蟽晒?jié)課講的公理4和等角定理，在某種意義來(lái)說(shuō)都是為給異面直線(xiàn)所成的角下定義做理論上的準(zhǔn)備，正因?yàn)榻堑拇笮∨cO點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，所以為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線(xiàn)中的一條上，所以你們一開(kāi)始給異面直線(xiàn)所成的角下的定義是對(duì)的．

師：我們?nèi)绾谓o兩條異面直線(xiàn)互相垂直下定義呢？

生：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直． 師：設(shè)兩條異面直線(xiàn)所成的角為θ，問(wèn)θ角的取值范圍？ 生：θ∈（0°，90°]，半開(kāi)、半閉區(qū)間． 師：θ角能否等于0°．

生：不能，因?yàn)楫?dāng)θ=0°時(shí)，異面直線(xiàn)就轉(zhuǎn)化為平行直線(xiàn)．

師：對(duì)，θ≠0°，否則，量變就轉(zhuǎn)化為質(zhì)變，異面直線(xiàn)就轉(zhuǎn)化為平行直線(xiàn)了．至于異面直線(xiàn)所成的角規(guī)定為銳角或直角，則是為了所成的角是唯一確定的．

三、練習(xí)

例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求：

（1）A1B與CC1所成的角是多少度？為什么？（2）A1B1與CC1所成的角是多少度？為什么？（3）A1C1與BC所成的角是多少度？為什么？（4）在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱B1B 垂直的棱有幾條？（如圖4）

師：請(qǐng)你們依次回答上述的四個(gè)問(wèn)題．

生：（1）因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為正方體，CC1∥BB1，所以A1B與CC1所成的角為∠B1BA1，而∠B1BA1=45°，所以A1B與CC1所成的角為45°．

師：請(qǐng)回答第（2）問(wèn)．

生：因?yàn)镃C1∥BB1，所以A1B1與CC1所成的角為∠BB1A1，而∠BB1A1=90°，所以A1B1與CC1所成的角為90°．

師：請(qǐng)回答第（3）問(wèn)．

生：因?yàn)锽C∥B1C1，所以A1C1與BC所成的角就是∠B1C1A1，而∠B1C1A1=45°，所以A1C1與BC所成的角為45°．

師：請(qǐng)回答第（4）問(wèn)． 生：與棱B1B垂直的棱有8條．

師：有哪幾條是與B1B相交垂直？有哪幾條是與B1B異面垂直？

生：與B1B相交垂直的棱有4條，為AB，A1B1，BC，B1C1；與B1B異面垂直的棱也有4條，為AD，A1D1，CD，C1D1．

師：對(duì)．這里我們需要指出，在立體幾何中．“垂直”、“相交垂直”、“異面垂直”這三個(gè)不同概念的聯(lián)系和區(qū)別．以后我們講兩直線(xiàn)垂直，則是指這兩直線(xiàn)可能是相交垂直，也可能是兩直線(xiàn)異面垂直．這里我們要破除在平面幾何中形成的思維定式，就是一說(shuō)兩直線(xiàn)垂直就是指兩直線(xiàn)相交垂直．而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“異面垂直”．

四、異面直線(xiàn)的距離的定義 師：和兩條異面直線(xiàn)都垂直的直線(xiàn)有多少條？（同時(shí)拿出兩根小棍做為異面直線(xiàn)a，b，再拿出一根小棍c擺出與a、b都垂直狀，而小棍c在保持與a、b都垂直的情況下可平行移動(dòng)，用這樣的模型讓學(xué)生觀察，再讓學(xué)生回答）

生：有無(wú)數(shù)條．

師：對(duì)．現(xiàn)在再問(wèn)與這兩條異面直線(xiàn)都相交垂直的直線(xiàn)有幾條？ 生：只有一條．

師：對(duì)，由對(duì)模型的觀察我們知道和兩條異面直線(xiàn)都相交垂直的直線(xiàn)有而且只有一條，現(xiàn)在可以給出下面兩個(gè)定義．

定義

和兩條異面直線(xiàn)都垂直相交的直線(xiàn)叫做兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)．

定義

兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)在這兩條異面直線(xiàn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線(xiàn)的距離． 要注意這兩個(gè)定義之間的聯(lián)系與區(qū)別，公垂線(xiàn)是一條直線(xiàn)，這直線(xiàn)在這兩條異面直線(xiàn)間（兩垂足間）的線(xiàn)段的長(zhǎng)度是這兩條異面直線(xiàn)的距離．

五、練習(xí)

例

在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求：（1）異面直線(xiàn)A1A與BC的距離；（2）異面直線(xiàn)A1A與C1D1的距離；

（3）異面直線(xiàn)A1B1與BC的距離．（如圖5）

師：在第（1）問(wèn)中A1A與BC的距離等于多少？為什么？

生：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，AB⊥A1A于A，AB⊥BC干B．所以AB的長(zhǎng)度就是異面直線(xiàn)A1A與BC的距離，因?yàn)锳B=4cm，所以A1A與BC的距離為4cm．

師：在第（2）間中，A1A與C1D1的距離等于多少？為什么？

生：因?yàn)锳1D1⊥A1A于A1，A1D1⊥C1D1于D1，A1D1的長(zhǎng)度就是異面直線(xiàn)A1A與C1D1的距離，因?yàn)锳1D1=BC=3cm，所以A1A與C1D1的距離為3cm．

師：在第（3）問(wèn)中，A1B1與BC的距離等于多少？為什么． 生：因?yàn)锽1B⊥A1B1于B1，B1B⊥BC于B．B1B的長(zhǎng)度就是異面直線(xiàn)A1B1與BC的距離，因?yàn)锽1B=2cm，所以A1B1與BC的距離等于2cm．

師：現(xiàn)在你們自己看課本第15頁(yè)到第16頁(yè)的例，看完后你們自己來(lái)講．可根據(jù)課本來(lái)回答． 例 設(shè)圖6中的正方體的棱長(zhǎng)為a．

（1）圖中哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)BA′成異面直線(xiàn)？（2）求直線(xiàn)BA′和CC′所成的角的大小；（3）求異面直線(xiàn)BC和AA′的距離．

（可根據(jù)課堂情況靈活掌握讓學(xué)生看3～5分鐘后，叫學(xué)生回答）師：現(xiàn)在你們先回答第（1）問(wèn)．

生：因?yàn)锳′平面B′BCC′，而點(diǎn)B、直線(xiàn)CC′都在平面B′BCC′內(nèi)，且B CC′．所以直線(xiàn)BA′與CC′是異面直線(xiàn)．

同理，直線(xiàn)C′D′，D′D，DC，AD，B′C′都和直線(xiàn)BA′成異面直線(xiàn)． 師：剛才回答是正確的，但它們的理論根據(jù)是什么呢？

生：是根據(jù)課本第10頁(yè)例，過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．

師；對(duì)，過(guò)去我們已經(jīng)講過(guò)，課本第10頁(yè)上的例，應(yīng)該明確把它“升格”為定理．這定理有的書(shū)上叫它為異面直線(xiàn)存在定理，有的書(shū)上把它叫做異面直線(xiàn)判定定理．以后，我們叫這定理為異面直線(xiàn)判定定理．過(guò)去我們還小結(jié)過(guò)，證明兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)的方法有兩個(gè)，是哪兩個(gè)方法．

生：一是用反證法，二是用異面直線(xiàn)的判定定理． 師：現(xiàn)在回答第（2）問(wèn)．

生：因?yàn)镃′C∥BB′，所以BA′和BB′所成的銳角就是BA′和CC′所成的角．因?yàn)椤螦′BB′=45°，所以BA′和CC′所成的角是45°． 師：現(xiàn)在回答第（3）問(wèn)．

生：因?yàn)锳B⊥AA′于A，AB⊥BC于B．所以AB是BC和AA′的公垂線(xiàn)段，因?yàn)锳B=a，所以BC和AA′的距離是a．

師：今天我們講了兩個(gè)很重要的概念，兩條異面直線(xiàn)所成的角和距離，我們一定要很好的理解、掌握這兩個(gè)概念并能應(yīng)用它們來(lái)解有關(guān)的題．

作業(yè)

課本第17頁(yè)，第9，10兩題． 補(bǔ)充題

1．正方體12條棱中，組成異面直線(xiàn)的對(duì)數(shù)是多少？[24] 2．空間四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，順次連結(jié)這個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是矩形，試證明．[提示：證有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形] 3．空間四邊形ABCD，AB，BC，CD的中點(diǎn)分別是P，Q和R，[90°] 4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，CD和CC1的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)EF和GH所成的角是多少度？[60°] 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．為了使學(xué)生理解引入異面直線(xiàn)所成的角和距離這兩個(gè)概念的必要，一定要運(yùn)用類(lèi)比推理的思想，從平面幾何為了區(qū)別不同的平行直線(xiàn)要有距離的概念，為了區(qū)別不同的相交直線(xiàn)要有角的概念．這樣為了區(qū)別不同的異面直線(xiàn)要引入異面直線(xiàn)所成的角和距離就是很自然很合理的了． 一定要使學(xué)生觀察模型，使他們理解兩異面直線(xiàn)所成角的概念的定義合理性．并且要求自己給出這個(gè)定義．

一定要使學(xué)生理解垂直、相交垂直、異面垂直這三個(gè)相互聯(lián)系又相互區(qū)別的三個(gè)概念，使學(xué)生理解與兩異面直線(xiàn)都相交垂直的直線(xiàn)有且只有一條，從而給異面直線(xiàn)的距離下定義做準(zhǔn)備． 這節(jié)課引入兩個(gè)新概念要用較多的時(shí)間，所以應(yīng)用這兩個(gè)概念的練習(xí)要很簡(jiǎn)單、很基本，使學(xué)生一看就會(huì)，目的是加深對(duì)概念的理解．

2．在立體幾何第一章的教學(xué)中要有四個(gè)“高潮”（也可借用音樂(lè)中的一個(gè)術(shù)語(yǔ)，就是要有四個(gè)華彩樂(lè)段）．第一個(gè)“高潮”是在講了異面直線(xiàn)所成的角和距離以后；第二個(gè)“高潮”是在講了三垂線(xiàn)定理及其逆定理以后；第三個(gè)“高潮”是在講了二面角及其平面角以后；第四個(gè)“高潮”是在講了兩平面垂直的定義．判定和性質(zhì)以后． 所謂“高潮”是指在這一階段教學(xué)中，要選較多、較全的題型，要多講幾次練習(xí)課，學(xué)生要多做些題，使學(xué)生能通過(guò)這一階段的教學(xué)在解題的能力上有較大的提高，也就是說(shuō)在邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力等躍上一個(gè)新的臺(tái)階或者說(shuō)達(dá)到一個(gè)新的層面．所以在講了異面直線(xiàn)所成的角和距離這節(jié)課后，還應(yīng)安排兩次練習(xí)題．為了節(jié)省篇幅，我們把第一節(jié)練習(xí)課的提綱寫(xiě)在下面．

3．第一節(jié)練習(xí)課提綱

例1 在正方體ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1與B1B所成的角是多少度？（45°）

（2）問(wèn)與AD1異面，且所成的角是45°的正方體的棱有哪幾條？（4條即為B1B，C1C，B1C1，BC）（3）問(wèn)AD1與B1C所成的角是多少度？（90°）

（4）如果M，N分別是B1C1，C1C的中點(diǎn)，問(wèn)MN與AD1所成的角是多少度？（90°）

由第（4）問(wèn)這個(gè)特殊的題，用一般化的方法得出定理：一直線(xiàn)垂直于平行直線(xiàn)中的一條，也垂直于另一條．

例2 在正方體ABCD－A1B1C1D1中．（1）求AD1與A1C1所成的角的度數(shù)？（△D1AC為等邊三角形，∠D1AC=60°）

（2）如果M，N分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求MN與BC1所成的角的度數(shù)？（60°）

（3）如果P，Q分別是A1A，A1D1的中點(diǎn)，求PQ與MN所成的角的度數(shù)？（60°）

例3 在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2．求：（1）AB與A1C1所成的角的正切？

（2）A1A與BC1所成的角的正弦？

（3）A1C1與AD1所成的角的余弦？

這叫余弦定理，我們補(bǔ)充的定理．詳見(jiàn)代數(shù)課本第239頁(yè)二 解斜三角形中的3．5余弦定理． 在講完這三個(gè)例題后，可做如下總結(jié)． 小結(jié)

（1）以概念為指導(dǎo)作出異面直線(xiàn)所成的角；

（2）找出這個(gè)角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解這個(gè)三角形，求出所要求的角．

在求異面直線(xiàn)所成的角的三個(gè)步驟中，關(guān)鍵是第（1）步，即把空間角（異面直線(xiàn)所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角，把解立體幾何中的問(wèn)題化歸為解平面幾何中的問(wèn)題．

這節(jié)課可留如下作業(yè)．（1）重做課堂練習(xí)中的例3．

（2）看代數(shù)課本第239～242頁(yè)．余弦定理只要求記住定理和用法，定理證明過(guò)程可略．（3）做代數(shù)課本中第243頁(yè)練習(xí)1（1）（2）（3）（4）．

以上就是講完異面直線(xiàn)所成的角和距離后第一節(jié)練習(xí)課的講課提綱．在這節(jié)課中我們補(bǔ)充了余弦定理．在講立體幾何第一章中要不要提前補(bǔ)充余弦定理．在什么時(shí)候補(bǔ)充余弦定理，下面就談一下自己在教學(xué)實(shí)踐中的想法． 4．對(duì)補(bǔ)充余弦定理想法

余弦定理本來(lái)是初中的教材，在立體幾何第一章的教學(xué)中不存在補(bǔ)充的問(wèn)題．現(xiàn)在的教材把余弦定理放在高一的下半學(xué)期才講，這就出現(xiàn)了在立體幾何第一章的教學(xué)中要不要補(bǔ)充余弦定理的問(wèn)題．

從理論上來(lái)說(shuō)，求異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題都要?dú)w結(jié)到解三角形的問(wèn)題．而解直角三角形的問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)都比較簡(jiǎn)單，達(dá)不到提高學(xué)生解題能力的目的．而要解斜三角形，一般來(lái)說(shuō)就要用到余弦定理，所以余弦定理是我們?cè)诮饬Ⅲw幾何有關(guān)問(wèn)題時(shí)思維鏈條中不可缺少的一個(gè)環(huán)節(jié)，所以一定要補(bǔ)上這一環(huán)，否則學(xué)生的解題能力很難提高．

第二篇：高中立體幾何教案第一章直線(xiàn)和平面第一章復(fù)習(xí)(四)教案

高中立體幾何教案 第一章 直線(xiàn)和平面 第一章復(fù)習(xí)

（四）教案

北京師大二附中 金寶錚

教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合第一章的內(nèi)容，滲透數(shù)學(xué)思想方法．（數(shù)形結(jié)合思想；方程的思想；轉(zhuǎn)化的思想；分類(lèi)討論的思想）

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 數(shù)學(xué)思想的滲透與培養(yǎng)． 教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

師：今天是復(fù)習(xí)課的最后一節(jié)．今天以復(fù)習(xí)題目中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為主線(xiàn)，研究幾種常用數(shù)學(xué)思想在本章的體現(xiàn)．

分類(lèi)討論的思想是同學(xué)們比較熟悉的．使用較多的是在代數(shù)課上y=ax2+bx+c的圖象，當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向下．

幾何中，分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，主要是依據(jù)圖形中元素位置關(guān)系的不同而展開(kāi)的．

請(qǐng)看以下一組題目：

例1 已知：a∥b，直線(xiàn)a平面α，直線(xiàn)b平面α，直線(xiàn)c

平面α，c∥a．若直線(xiàn)a與直線(xiàn)b的距離為6cm，直線(xiàn)b與直線(xiàn)c的距離5cm，直線(xiàn)c與平面α的距離為4cm．

求：直線(xiàn)a與直線(xiàn)c的距離．（教師畫(huà)圖）

生A：在直線(xiàn)c上任取一點(diǎn)A，作AB⊥α于B，過(guò)B作BC⊥a于C，反向延長(zhǎng)交b于D，因?yàn)閍∥b，所以BC⊥b．分別連結(jié)AC、AD，根據(jù)三垂線(xiàn)定理，a⊥AC，b⊥AD．

據(jù)題意知：CD=6cm，AD=5cm，AB=4cm，在Rt△ABD中，求出BD=3cm，所以BC=3cm，在Rt△ABC中，求出AC=5cm．

師：哪位同學(xué)對(duì)“生A”的解答有補(bǔ)充？

師：生A的解答基礎(chǔ)是依據(jù)我畫(huà)的圖．而原題中并沒(méi)有給圖，也沒(méi)有“如圖”這樣的說(shuō)明，因此我們先要研究圖應(yīng)該怎么畫(huà)！

生B：老師，我對(duì)“生A”的發(fā)言有補(bǔ)充． 這個(gè)題目的圖形還有以下兩種可能：

師：好．這道題目體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想．它是根據(jù)直線(xiàn)c在平面α內(nèi)射影的不同位置來(lái)

進(jìn)行討論的．

生C：老師，我認(rèn)為還有兩種情況：

情形1：直線(xiàn)c在平面α內(nèi)射影與直線(xiàn)a重合． 情形2：直線(xiàn)c在平面α內(nèi)射影與直線(xiàn)b重合．

師：“生C”同學(xué)的補(bǔ)充很好．例1應(yīng)該分為5種情況來(lái)討論．但是其中會(huì)有一些情況無(wú)解，請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在實(shí)踐一下．

圖一的位置．其余三種位置關(guān)系均無(wú)解．

師：還有一點(diǎn)提醒同學(xué)們注意：對(duì)于不同的位置關(guān)系，解題時(shí)都要給予論述，對(duì)于無(wú)解的情形要講清無(wú)解的原因。有些同學(xué)認(rèn)為無(wú)解就不用寫(xiě)了，這種認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的．再看例2．

例2平面α外兩點(diǎn)A，B，它們到平面α的距離分別為a，b，求：點(diǎn)P到平面α的距離．

生A：我認(rèn)為有兩種情況：一種是點(diǎn)A、點(diǎn)B在平面α同側(cè)；另一種是點(diǎn)A、點(diǎn)B在平面α異側(cè)．

生B：我有不同看法，已知條件中沒(méi)有給出a，b的大小關(guān)系，“生A”解決圖5情形時(shí)，默認(rèn)為b＞a是不對(duì)的，應(yīng)該再分兩種情形：

師：“生B”的補(bǔ)充很好，例2不僅在圖形的位置關(guān)系上分類(lèi)討論，還要根據(jù)數(shù)據(jù)a，b的大小關(guān)系來(lái)分類(lèi)討論．如果簡(jiǎn)化題目，已知條件上補(bǔ)一個(gè)條件：b＞a，是否上述解答就全面了呢？ 生C：當(dāng)A，B兩點(diǎn)在兩側(cè)時(shí)，在圖6中，點(diǎn)P不一定在A1B1上方．當(dāng)b＞2a時(shí)，點(diǎn)P位于A1B1上方；當(dāng)b=2a時(shí)，點(diǎn)P在A1B1上；

師：經(jīng)過(guò)“生C”的補(bǔ)充，題目解答就全面了．

下面談一下方程的思想．在初中階段，同學(xué)們重點(diǎn)研究了列方程解應(yīng)用題，這就是最基本的方程的思想．通過(guò)設(shè)未知數(shù)，尋求已知量與未知量之間的關(guān)系，從而獲得問(wèn)題的解決．下面請(qǐng)看例3．

例3 如圖7，二面角α-l-β，點(diǎn)B∈l，AB α，BC β．∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=60°．

求：二面角α-l-β的大小．

師：首先我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義構(gòu)造二面角的平面角．具體作法是：在l上選點(diǎn)D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)D分別在α，β平面內(nèi)作l的垂線(xiàn)交BA，BC于E，F(xiàn)．

設(shè)AD=α，由∠ABD=45°得BD=a．

∠EDF=90°．

本例特點(diǎn)在于題目中沒(méi)有給出任何線(xiàn)段的長(zhǎng)度，而是通過(guò)設(shè)未知量，進(jìn)而知道已知與未知的關(guān)系．

例4 二面角α-EF-β為120°，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈β，∠ACB為二面角的平面角，且AC=BC=a．在EF上取一點(diǎn)D．

問(wèn)：D點(diǎn)在何處時(shí)，∠ADE=∠ADB=∠BDE=θ？

為了確定點(diǎn)D的位置，可設(shè)與D點(diǎn)有關(guān)的某一條線(xiàn)段長(zhǎng)為x，依據(jù)題設(shè)建立等量關(guān)系．再求出x的值，同學(xué)們實(shí)踐一下．

生A：在EF上取點(diǎn)D，設(shè)AD=x． 因?yàn)?AC=BC=a，∠ACB=120°，因?yàn)?∠ADE=∠ADB=∠BDE=0，所以 ∠ADC=180°-θ．

△ABD中由余弦定理可得： AB2=x2+x2-2x2cosθ，生B：我認(rèn)為解答不全面，剛才“生A”的解答中，運(yùn)用了圖8中各點(diǎn)之間位置關(guān)系．

應(yīng)該給予討論，當(dāng)點(diǎn)D位于CF之間時(shí)，∠ADC=180°而不是等于180°-θ． 師：“生B”的問(wèn)題提的好，在“生A”的解答中，距點(diǎn)C的距離

例5 如圖9，∠ASB=90°，∠CSB=75°，∠ASC=105°，由

求：△ABC的周長(zhǎng)．

師：這道題目的難度在于如何建立一座溝通已知與未知的橋梁． 生：觀察圖形，我發(fā)現(xiàn)圖中有三對(duì)全等三角形．△ADS≌△AFS；△FSC≌△ESC；△BES≌△BDS．設(shè)∠DSA=α，∠FSC=β，∠ESB=γ．

師：上面列舉了3個(gè)題目，從不同的側(cè)面，以不同的形式反映出方程的思想在立體幾何解題中的作用．

下面再談一下轉(zhuǎn)化的思想，轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵十分豐富．有條件的轉(zhuǎn)化；結(jié)論的轉(zhuǎn)化；圖形的轉(zhuǎn)化；解題策略的轉(zhuǎn)化??

事實(shí)上，許多題目的解答過(guò)程都不同程度在使用轉(zhuǎn)化的思想． 例6 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1． 求：異面直線(xiàn)A1C1與B1C的距離．

生A：可以證明：B1C∥A1D1，進(jìn)而可證B1C∥面A1DC1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)B1C與平面A1C1D的距離??

生B：還可以證明AC∥A1C1，不難證明：平面A1C1D∥平面ACD1．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求平面A1C1D與平面ACB1的距離??

生C：在A1C1上取一點(diǎn)P，作PN⊥B1C1于N，作NQ⊥B1C于Q，連結(jié)PQ．可以證明PQ⊥B1C．

師：“生C”的思想是：依據(jù)異面直線(xiàn)的概念，特別是公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)是兩條異面直線(xiàn)上各取一點(diǎn)后所連線(xiàn)段的最小值．

布置作業(yè)：（略）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本節(jié)是復(fù)習(xí)題的第四節(jié)．首先介紹一下上節(jié)課的設(shè)計(jì)思路． 在第三節(jié)復(fù)習(xí)課上，重點(diǎn)研究了證明問(wèn)題．

對(duì)于證明題的思路分析，總體構(gòu)想認(rèn)為它應(yīng)該是初中平面幾何論證的延續(xù)，像由因?qū)Ч瑘?zhí)果索因等一些經(jīng)典論述讓學(xué)生刻骨銘心．

通過(guò)證明問(wèn)題的復(fù)習(xí)，使學(xué)生對(duì)線(xiàn)面各種位置關(guān)系及性質(zhì)、判定定理運(yùn)用自如．

反證法是高中首次出現(xiàn)，學(xué)生不易掌握，是一個(gè)難點(diǎn)．教師要結(jié)合題目引導(dǎo)學(xué)生去思考，什么樣的題目用反證法．

同一法不屬教材，一般不要引入課堂．對(duì)確有余力的班級(jí)，教師也可適當(dāng)滲透．

本節(jié)復(fù)習(xí)課是最后一節(jié)復(fù)習(xí)課，力圖通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生能夠站在數(shù)學(xué)方法這個(gè)高度來(lái)解題．從認(rèn)識(shí)水平上也上一個(gè)新的臺(tái)階．教師必須認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法決不是通過(guò)一節(jié)課就能完全教會(huì)學(xué)生．它是需要有長(zhǎng)期的教學(xué)積累而成，確實(shí)有水到渠成的感覺(jué)．

目前高中數(shù)學(xué)提出的四個(gè)數(shù)學(xué)思想：分類(lèi)討論、函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化．本節(jié)重點(diǎn)研究了其中三個(gè)．

分類(lèi)討論是容易接受也是容易忽略的．許多同學(xué)往往是出了考場(chǎng)就想起來(lái)應(yīng)該分類(lèi)討論．

出現(xiàn)這種情況體現(xiàn)兩點(diǎn)：一是學(xué)生能力尚不強(qiáng)，檢東忘西、丟三落四；另一方面是分類(lèi)討論的意識(shí)還不夠強(qiáng)，這種意識(shí)的培養(yǎng)需要一個(gè)過(guò)程．教師在平時(shí)教學(xué)中要注意滲透．對(duì)于一些問(wèn)題，教師事先不去提醒他們注意，當(dāng)他們走入誤區(qū)，教師再予以指導(dǎo)，效果會(huì)好一些．

方程的思想貫穿于整個(gè)中學(xué)教材．立體幾何也不例外，如何通過(guò)設(shè)置未知量，也有時(shí)是“參數(shù)”，用其來(lái)溝通已知與未知．本節(jié)課通過(guò)不同的例子來(lái)展示． 轉(zhuǎn)化更是無(wú)處不在．幾乎每一道題的解答都滲透有轉(zhuǎn)化的思想．這里只選了一例，轉(zhuǎn)化求證方向，用以解決問(wèn)題．

復(fù)習(xí)課有其獨(dú)特之處，例題選配最好結(jié)合所教班級(jí)實(shí)際情況，在此，僅以?xún)蓚€(gè)教案的粗淺之見(jiàn)，望能起到拋磚引玉之功效．

第三篇：相交直線(xiàn)所成的角(教學(xué)比武教案)

相交直線(xiàn)所成的角

澧縣永豐中學(xué)：尹笑

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解對(duì)頂角，并能在圖形中找出對(duì)頂角。

2.會(huì)運(yùn)用已學(xué)知識(shí)證明對(duì)頂角的性質(zhì)并學(xué)會(huì)運(yùn)用。3.理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念。

4.會(huì)在兩直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截的圖中，找出所有的同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角。

5.用對(duì)頂角相等、等量代換、等式的性質(zhì)理解P77的一個(gè)結(jié)論。教學(xué)重點(diǎn)：

在圖中辨認(rèn)對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，掌握一個(gè)性質(zhì)、理解一個(gè)結(jié)論。

教學(xué)難點(diǎn)：辨認(rèn)和尋找同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角。教學(xué)方法：目標(biāo)教學(xué)，合作探究 教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

用多媒體呈現(xiàn)一些大千世界中的美麗圖片，讓學(xué)生通過(guò)觀察回答看到了什么，從而引入新課內(nèi)容。今天，我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)相交直線(xiàn)所成的角。

二、自主探索，合作交流

（一）自主導(dǎo)學(xué)，交流成果

根據(jù)教師給出的本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，安排學(xué)生預(yù)習(xí)課本P75、P76、P77的內(nèi)容，然后在課堂上分組討論學(xué)案上的第二部分“小試牛刀”的習(xí)題，然后請(qǐng)學(xué)習(xí)小組派代表回答相關(guān)問(wèn)題。

（二）教師引導(dǎo)，鞏固新知

在學(xué)生回答問(wèn)題的過(guò)程中，教師用課件對(duì)于本節(jié)課的重難點(diǎn)部分進(jìn)行詳細(xì)講解：（主要圍繞以下四部分進(jìn)行）1.對(duì)頂角的概念和性質(zhì)。

2.“三線(xiàn)八角”的組成，強(qiáng)調(diào)三線(xiàn)相交的語(yǔ)言描述，并教會(huì)學(xué)生找出截線(xiàn)與被截線(xiàn)。

3.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)并歸納“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角”在圖形中所體現(xiàn)的與截線(xiàn)和被截線(xiàn)的相對(duì)位置關(guān)系。

（同位角：截線(xiàn)同側(cè)，被截線(xiàn)同方；內(nèi)錯(cuò)角：截線(xiàn)兩側(cè)，被截線(xiàn)內(nèi)部；同旁?xún)?nèi)角：截線(xiàn)同側(cè)被截線(xiàn)內(nèi)部）

4.教會(huì)學(xué)生在相關(guān)習(xí)題中找到同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角。

三、“三線(xiàn)八角”的認(rèn)知?jiǎng)?chuàng)新

1.“字母化”創(chuàng)新

同位角可以看做字母“F”，內(nèi)錯(cuò)角可以看做字母“Z”，同旁?xún)?nèi)角可以看做字母“U”

2.“變手游戲”的創(chuàng)新

全班以手為道具，以手指構(gòu)造模型

（先給學(xué)生進(jìn)行講解說(shuō)明，然后通過(guò)小游戲進(jìn)行體驗(yàn)）

四、分級(jí)檢測(cè)，鞏固提升

整個(gè)練習(xí)題分為A、B、C三等級(jí)，從易到難，讓學(xué)生以小組為單位，學(xué)生根據(jù)自己的能力自選等級(jí)，分工合作完成，以比賽的形式評(píng)選出優(yōu)勝小組。（習(xí)題在學(xué)案和課件上均呈現(xiàn)出來(lái)）

五、課堂小結(jié)，記好數(shù)學(xué)筆記 要求：

1.仔細(xì)思考通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了那些知識(shí)？在學(xué)案中記下來(lái)。

2.把學(xué)案上的各目標(biāo)掌握的情況用五角星做好標(biāo)記。（掌握很好：5顆星，較好：4顆星，不夠好：3顆星）3.把學(xué)案上的相關(guān)題目過(guò)程整理好，待完成課后作業(yè)后一并交上來(lái)。

六、布置作業(yè)

請(qǐng)學(xué)生在課后完成學(xué)案上的作業(yè)

第四篇：【湘教版】七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)：4.1.2《相交直線(xiàn)所成的角》教案

百度文庫(kù)

相交直線(xiàn)所成的角

知識(shí)與技能：

1．理解相交直線(xiàn)所成的角意義，理解對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念。2．理解對(duì)頂角相等的性質(zhì)。

3．會(huì)運(yùn)用對(duì)頂角相等及等量代換的性質(zhì)得到三條直線(xiàn)相交所得8個(gè)角之間的等量關(guān)系及互補(bǔ)關(guān)系。過(guò)程與方法：

通過(guò)認(rèn)識(shí)圖形的組合（由簡(jiǎn)到繁），培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別圖形基本結(jié)構(gòu)的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀：

經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，通過(guò)動(dòng)手操作，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的發(fā)展是現(xiàn)實(shí)生活的需要，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，積極參與探索過(guò)程。

教學(xué)重點(diǎn)：

三條直線(xiàn)構(gòu)成的角的關(guān)系，對(duì)頂角相等的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：

準(zhǔn)確地找出三條直線(xiàn)構(gòu)成的8個(gè)角之間的關(guān)系，用對(duì)頂角相交及等量代換得到它們之間的等量關(guān)系。教學(xué)過(guò)程：

一、預(yù)學(xué)：

1、在同一平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)有幾種位置關(guān)系？

2、經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)怎樣畫(huà)出這條直線(xiàn)的平行線(xiàn)？

3、如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)互相平行 即：如果b∥a，c∥a，那么b ∥ c。

二、探究： 如圖4-7，剪刀的兩個(gè)交叉腿構(gòu)成四個(gè)角，將其簡(jiǎn)單地表示為圖4-8.1 4 3 2 圖4-7

圖4-8

1、做一做：1與∠3有什么關(guān)系？

2、對(duì)頂角的概念

如圖∠1與∠3有共同的頂點(diǎn)O，其中一個(gè)角的兩邊分別 是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。

3、學(xué)生從做一做中得出相應(yīng)的結(jié)論，也可從簡(jiǎn)單的推理中得到：

對(duì)頂角相等。

∠1與∠3都是∠2的補(bǔ)角，因?yàn)橥堑难a(bǔ)角相等，所以∠1＝∠3。

4、說(shuō)一說(shuō)：生活中的對(duì)頂角

百度文庫(kù)

百度文庫(kù)

5、畫(huà)直線(xiàn)AB、CD與MN相交，找出它們中的對(duì)頂角。

三、精導(dǎo)：

1、講解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念。直線(xiàn)AB，CD都與第三條直線(xiàn)MN相交(有時(shí)也說(shuō)直線(xiàn)AB和CD被第三條直線(xiàn)MN所截)，可以構(gòu)成8個(gè)角，如圖所示.2、假設(shè)直線(xiàn)AB，CD被MN所截，有一對(duì)同位角相等 比如說(shuō)∠1＝∠5，找出圖形中相等的角或互補(bǔ)的角。

3、應(yīng)用“對(duì)頂角相等”及“等量代換”及等式的性質(zhì)，可以得出相應(yīng)的一些結(jié)論：（1）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果有一對(duì)同位角相等，那么其他幾對(duì)同位角也相等，并且內(nèi)錯(cuò)角也相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。

（2）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果有一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，那么其他幾對(duì)內(nèi)錯(cuò)角也相等，并且同位角也相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。（3）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如果有一對(duì)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么另一對(duì)同旁?xún)?nèi)角也互補(bǔ)，并且同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角也相等。

例1 如圖，直線(xiàn)EF與AB，CD相交，構(gòu)成8個(gè)角.指出圖中所有的對(duì)幾對(duì)對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角.解：略

例2 如圖，直線(xiàn)AB，CD被直線(xiàn)MN所截，同位角∠1 與∠2相等，那么內(nèi)錯(cuò)角∠2與∠3相等嗎？

四、提升：

如圖，直線(xiàn)a，b被直線(xiàn)c所截，找出圖中所有的對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角.若∠1=∠5=108°，求其他角的度數(shù).教學(xué)反思：

百度文庫(kù)

第五篇：用向量運(yùn)算證明兩條直線(xiàn)垂直或求兩直線(xiàn)所成的角

高二數(shù)學(xué)理（B）學(xué)案

用向量運(yùn)算證明兩條直線(xiàn)垂直或求兩條直線(xiàn)所成的角

編號(hào)：10編制：王井雷審核：劉紅英時(shí)間：2012.2.18

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、掌握兩條直線(xiàn)垂直的充要條件，知道直線(xiàn)夾角和其方向向量夾角的關(guān)系。

2、會(huì)用向量運(yùn)算證明兩條直線(xiàn)垂直或求兩條直線(xiàn)所成的角。【重點(diǎn)難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：用向量運(yùn)算證明兩條直線(xiàn)垂直或求兩條直線(xiàn)所成的角。教學(xué)難點(diǎn)：直線(xiàn)的方向向量。【知識(shí)梳理】

??????

1、兩條直線(xiàn)l1與l2所成的角?，兩條直線(xiàn)l1、l2的方向向量v1,v2所成的??????????

角v1,v2的范圍，?與v1,v2的關(guān)系是。

變式訓(xùn)練1：.已知正方體ABCD-A?B?C?D? 中，點(diǎn)E,F分別是棱BB?與面對(duì)角線(xiàn)B'D'的中點(diǎn)。求證：直線(xiàn)EF?直線(xiàn)A'D

例2.已知三棱錐O-ABC，OA＝4,OB＝5,OC＝3,∠AOB＝ ∠BOC＝60o, ∠COA＝90o,M、N分別是棱OA、BC的中點(diǎn)。求直線(xiàn)MN與AC所成的角（用反三角函數(shù)表示）。

變式訓(xùn)練2：已知四棱錐S?ABCD的高SO?3，底面是邊長(zhǎng)為2，?ABC?60?的棱形，O為

2、l1?l2?，cos?【課前達(dá)標(biāo)】

??

1、若異面直線(xiàn)l1、l2的方向向量分別是a??0,?2,?1?，b??2,0,4?，則異面直線(xiàn)l1與l2的夾

角的余弦值等于（）A、?

5B、2

5C、?

5D、52、在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E,F分別CC1,AD的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)OE和FD1所成角的余弦值等于（）A

5B

5C、4

5D、2

3底面的中心，E,F分別為SA和SC的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)BF與DE所成的角

【典型例題】

例1.已知正方體ABCD-A?B?C?D? 中，點(diǎn)M、N分別是棱BB?與對(duì)角線(xiàn)CA?的中點(diǎn)。求證：MN?BB?；MN ?A?C。

高二數(shù)學(xué)理（B）學(xué)案

【鞏固練習(xí)】

1．在正三棱柱A1B1C1-ABC中，若1，則AB1與C1B所成的角的大小為（）

6.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；（2）求異面直線(xiàn)AE與CD所成角的余弦值．

7.如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).（1）求BN的長(zhǎng)（2）求cos

1>的值；（3）求證：A1B⊥C1M.A．60? B．90? C．105? D．75?

2．A1B1C1-ABC是直三棱柱，? BCA=90?，點(diǎn)D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，若

BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）

A．

3010

B．

2C．

301

5D．

3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1D1的中點(diǎn)，則BE與DF所成角的余弦值為_(kāi)_________.4.已知F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)A1C1與DF所成的角的余弦值為_(kāi)_________.5.在棱長(zhǎng)為1的正方體中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、BD的中點(diǎn)，G在CD上，且CG

＝CD/4，H為C1G的中點(diǎn)，⑴求證：EF⊥B1C；⑵求EF與C1G所成角的余弦值；⑶求FH的長(zhǎng)。