第一篇：《化學發展簡史》學習心得

《化學發展簡史》學習心得

英國近代實驗科學的的始祖培根說過“學習歷史可以使人明智。”歷史是記錄人類文明發展的重要學科，人類在創新中前進，在錯誤中自我檢討，通過歷史我們可以前人成功的經驗和失敗的教訓，從而明智。

作為一名化學專業的學生，在大一的第一學期，我學習了《化學發展簡史》這一門課程，該課生動的為我們講述了古代化學、近代化學的發展歷史以及其最新發展方向。

在學習這一門課程之前，我所學習的化學的化學知識僅停留在課本上，每一個元素，每個方程式，都像公式一樣的記在腦子里，多少有些枯燥乏味。然而在學習了這門課程后，我對化學的認識有了很大的變化，我了解到化學的發展與人類的生活緊緊相關，并且每一個新的發現背后都是一個小故事，化學這一學科在我的心里也變得新鮮而富有生命力。

心得一：化學改變生活

在幾百萬年以前，人類文明還處于啟蒙階段，人類的生活十分原始，人類基本靠采摘果實，和狩獵獲得實物，人類吃的都是生肉野果。直到人類發現了火，根據考古發現，人類至少在50萬年前就開始使用火了。火可以在天寒時御寒，在夜晚可以用來照明，到后來人類學會了用火來烹煮食物。告別了茹毛飲血的生活，人類的身體健康有所增進，在智力上也有所提高，而這為后來人類文明的飛速進步奠定了重要基礎。

在人類發現火后，火在人類的生活中扮演了十分重要的角色，從開始只能收集天然火種，到后來發明鉆木取火，人類在熟悉并利用火的過程中發現泥土會在火的作用下變得堅硬牢固，由此發明了陶器。陶器的發明使人類有了儲存水的器具，以及最原始的炊具，人類的飲食也由此變得豐富，煮食的出現也讓人類吃的食物更加的富有營養，營養成分也更易被吸收，從而使人類的體制和智能有了很大的提高。而在很多年后中國因出產精致而華美的陶瓷而聞名世界，追溯起源大概要到這個時候了吧。

在人類發展史上，金屬冶煉的出現也是人類發展史上跨越性的一步。在土耳其東部的凡湖附近發現了最早的距今7000到6000年的煉銅遺址，埃及，塞浦路斯以及美索不達米亞平原在4000年前掌握了該項技術，而西亞和東歐則在3000年前普遍掌握了煉銅技術。我國的青銅文明也有其輝煌的一頁，殷朝的司母戊鼎，是世界上最大的出土青銅器。戰國時期的編鐘，是古代音樂史上偉大的創造。后來人們又學會了鐵的冶煉，并用于制造兵器，農具。冶煉金屬技術的發展，間接推動了農業、兵器、金融、藝術的發展。同時提高了人們的生產力，把社會文明向前推進了一步。

這些實例中，我們都看得出，人類的生活不斷進步，與化學的發展有著密不可分的關系，化學的發展往往帶動人類的生產力，人類往往受益良多。

心得二：實踐檢驗真理

化學的英文為“chemistry”，起源于alchemy，即煉金術。chemist至今還保留著兩個相關的含義：化學家和藥劑師。這些可以說是化學脫胎于煉金術和制藥業的文化遺跡了。

從公元前1500年到公元1650年，煉丹術士和煉金術士們，在皇宮、在教堂、在自己的家里、在深山老林的煙熏火燎中，為求得長生不老的仙丹，為求得榮華富貴的黃金，開始了最早的化學實驗。

記載、總結煉丹術的書籍，在中國、阿拉伯、埃及、希臘都有不少。這一時期積累了許多物質間的化學變化，為化學的進一步發展準備了豐富的素材。這是化學史上令我們驚嘆的雄渾的一幕。后來，煉丹術、煉金術幾經盛衰，使人們更多地看到了它荒唐的一面。

化學方法轉而在醫藥和冶金方面得到了正當發揮。在歐洲文藝復興時期，出版了一些有關化學的書籍，第一次有了“化學”這個名詞。

到了近代，人們開始試圖去了解化學的本質。

1723年，德國哈雷大學的醫學與藥理學教授施塔爾出版了教科書《化學基礎，施塔爾認為燃素存在于一切可燃物中，在燃燒過程中釋放出來，同時發光發熱。燃燒是分解過程：

可燃物==灰燼+燃素，金屬==鍛灰+燃素。

775年，拉瓦錫的實驗中心發現燃燒時增加的質量恰好是氧氣減少的質量。以前認為可燃物燃燒時吸收了一部分空氣，其實是吸收了氧氣，與氧氣化合，即氧化。這就是推翻了燃素說的燃燒的氧化理論。

拉瓦錫對化學的另一大貢獻是否定了古希臘哲學家的四元素說和三要素說，辨證地闡述了建立在科學實驗基礎上的化學元素的概念：“如果元素表示構成物質的最簡單組分，那么目前我們可能難以判斷什么是元素；如果相反，我們把元素與目前化學分析最后達到的極限概念聯系起來，那么，我們現在用任何方法都不能再加以分解的一切物質，對我們來說，就算是元素了。”在1789年出版的歷時四年寫就的《化學概要》里，拉瓦錫列出了第一張元素一覽表。

在化學的發展中我們看到了人們從一開始盲目相信化學，到后來去了解化學反應的本質，我看到了人類進步的目光，另一方面，也看出實踐是檢驗真理的標準，人們也是在一次次的錯誤中前進，學化學發展簡史，我們看到了每個時代的人是如何看待化學，又是如何推翻前人錯誤的認知，并且提出新的理論。

心得三：在創新中發展

化學的發展不僅僅停留在其本身，也同時延伸到其他領域，其中有突出成就的為基因工程學。

基因工程也叫遺傳工程，是20世紀70年代在分子生物學發展的基礎上形成的新學科。基因工程就是在分子水平上，用人工方法提取(或合成)不同生物的遺傳物質，在體外切割、拼接和重新組成，然后通過載體把重組的DNA分子引入受體細胞，使外源DNA在受體細胞中進行復制與表達。按人們的需要產生不同的產物或定向地創造生物的新性狀，并使之穩定地遺傳給下代。基因工程技術主要包括分離基因、純化基因和擴增基因的技術，其核心是分子克隆技術。它能幫助人們從各種復雜的生物體中分離出單一的基因，并把它純化，再把它大量擴增，用于研究。

20多年來，基因工程技術得到了迅速地發展，特別是限制性內切酶、DNA序列分析及DNA重組技術等三大技術的發現和應用，不僅把分子生物學提高到了基因水平，而且也把生物學與醫學中的其他學科引上基因研究的道路，并取得了許多揭示生命秘密和生命過程的重大成就。

化學發展簡史讓我受益良多，讓我了解了很多歷史故事，文明的發展，和很多科學領域的發展方向，也有了很多感受，在以后的學習中我一定會更加認真地認真學習化學。

第二篇：《戰爭簡史》學習心得

南京郵電大學

通信與信息工程學院

B10010238

熊運闊

《戰爭簡史》學習心得

很榮幸能學習曾教員講解的軍政課——《戰爭簡史》，聲情并茂的語言引起了我們強烈的反思。對于珍珠港事件，是由日本帝國主義精心策劃的，美國方面未給與充分重視的侵襲戰爭。對于珍珠港基地的重要性和日本進攻的可能性，美國沒有給與足夠的重視。政府在很長一段時間以輕敵姿勢來對待這場無法規避的戰爭。結果這場戰爭幾乎是在美軍的睡夢中打響的，正猶如當頭一棒，驚醒了沉睡中的美國。居安思危的潛危險意識在任何時候都是必須的，在新中國成立之初就以《義勇軍進行曲》作為國歌的問題上，毛主席態度鮮明的指出了“中華民族到了最危險的時候”這句話不會過時。一種潛危險意識，就這樣伴隨著新中國的成長，強大。正所謂“富貴不能淫，威武不能屈，貧賤不能移”。

增加民族凝聚力，國家榮譽感是每個人應承擔的責任，是每個人歷史使命之所在。在任何情況下，擁有這種信仰的國家將無往而不勝！國家的災難每個人都是實際的承擔著，國家與個人的命運是相連的，就如珍珠港事件傳到本土之后，美國各界紛紛動員，士兵，物資，源源不斷的輸往前線，民族凝聚力，責任感油然而生。在去年的汶川地震時，我國軍民團結一致，眾志成城，無不凸顯了新時期的民族精神，和責任感！

戰爭的爆發是利益沖突所導致的，在利益沖突不斷升級，達到一定的程度時就會發生。所以從某種意義上講，戰爭也是出于協調利益矛盾。正義戰爭的目的在于不再戰爭。日本帝國主義出于自身的考慮發動了這場不義戰爭，是違歷史之潮流，人類之期望。所以窮兵黷武的極端分子下場，注定要自己埋葬自己!

二戰是帝國主義政治經濟發展不平衡的階段性產物，以日本為首的法西斯千方百計的轉嫁國內經濟危機，以求對內欺騙鞏固統治，對外侵略擴大統治。戰爭成為他們“理想”的工具。然而，事實告訴我們和平發展才能實現富強與尊重，“力可以的天下，而不可得民心",但是“興百姓苦，亡百姓苦”誰也不希望戰爭的爆發。當今世界正處于變革之中，在變化中充滿宇多不確定因素，其最終也不乏戰爭因素，但是時代的主流是求和平，謀發展，基于此應該盡量避免不必要的戰爭。縱觀歷史戰爭不是解決矛盾的唯一手段，許多戰爭反而適得其反。時下更為微妙的是協商解決利益的沖突。“在戰爭中能取得的，談判桌上也可以”和平應該成為人類之共同信仰！

雖然我們反對不義戰爭，但是我們可以犧牲一切可以犧牲的來維護，國家的榮譽，民族的尊嚴，就像美國人正常的生活秩序被打亂后，美國人民開始了為自由而戰

正如前文所說的“戰爭的創傷是遺傳的”但是有好多人基因變異了，有的變異結果是隱瞞，有的淡化，更有甚者美化！“在對待歷史問題上，中國的態度是'以史為鑒，面向未來'，我們從來不認為歷史上的日本人能軍國主義對中國的侵略要日本人民承擔，我們從不這樣認為”，朱镕基的話不應該成為日本黨政忘卻歷史的資本，而應該是中日世代友好的根本。針對日本否認侵略，偷襲珍珠港，南京大屠殺......無疑是鐵的血證!南京郵電大學

通信與信息工程學院

B10010238

熊運闊

第三篇：中國共產黨簡史—學習心得

在院 級分黨校課程中的自學環節，我選擇了閱讀《中國共產黨簡史》——一部由中共中央黨史研究室為慶祝中國共產黨成立八十周年而編寫的一本普及讀物。在全國兩會結束不久之際去學習它是非常有意義的也是非常必要的。作為當代大學生則應該在學習中中國共產黨簡史的基礎上，認識黨，了解黨，熱愛黨。作為一名入黨積極分子更應該認真學習它。

《中國共產黨簡史》全書10章16萬字，分為三個部分：從黨的創立到新中國的成立；從開國到黨的十一屆三中全會；從十一屆三中全會到現在。全貌展現了中國共產黨從1921年成立以來，為了求得民族獨立和人民解放，實現國家的繁榮富強和人民的共同富裕，已經走過的92年艱辛而輝煌的歷程。

該書系統展現了中國共產黨團結帶領全國各族人民為求得民族獨立、人民解放和實現國家富強、人民富裕，實現中華民族偉大復興而不懈奮斗的歷史。全書對黨所走過的道路、經歷的復雜斗爭、遇到的艱難曲折、經歷的一系列重要事件，都作了恰當的梳理和反映。尤其是集中敘述了黨領導人民所干的三件大事：一是奪取新民主主義革命勝利，建立中華人民共和國，實現民族獨立和人民解放;二是確立社會主義基本制度，全面展開社會主義建設，并在曲折中探索社會主義建設的道路;三是實行改革開放，開創中國特色社會主義道路，形成中國特色社會主義理論。全書緊緊抓住黨史的主題和主線，用雄辯的歷史事實說明：中國共產黨的領導是歷史的選擇，是人民的選擇。

該書在系統勾勒黨的奮斗歷程的基礎上，進一步總結了黨領導中國革命、建設和改革的歷史經驗。深刻闡明了黨的歷史不僅是一部奮斗史，也是一部探索史、理論發展史和自身建設史。重點闡述了馬克思主義中國化兩次歷史性飛躍的進程以及所形成的創新理論成果，深刻揭示了創新理論成果的偉大意義。全書反映的艱難探索、寶貴經驗，無不展現出中國共產黨在實踐中不斷開拓進取、堅持與時俱進的偉大品格，同時也深刻地告訴我們：必須始終堅持把馬克思主義基本原理同中國實際相結合，堅持從中國國情出發，堅持科學理論指導，堅定不移地走自己的道路。

此外，該書全面總結黨在長期奮斗中形成的優良作風和偉大精神，充分展現我們黨的崇高品質。其中包括“三大作風”和“兩個務必”等在內的優良作風;包括長征精神、抗戰精神等在內的革命精神，包括雷鋒精神、“兩彈一星”精神等在內的建設精神，以及改革開放以來以解放思想、實事求是、與時俱進、求真務實、敢闖新路、開拓創新等為基本內容的時代精神。這些在歷史上逐步形 成的優良作風和精神，鮮明而生動地體現了中國共產黨全心全意為人民服務、立黨為公、執政為民的宗旨，展示了中國共產黨人的崇高形象和人格魅力，成為中國共產黨的寶貴財富，也成為中華民族偉大精神的重要組成部分。

同時，該書堅持黨的實事求是的思想路線，既充分 體現黨性原則又充分體現科學精神。全書以黨的兩個歷史決議和黨中央的有關文獻為依據，以豐富的歷史資料為基礎，堅持客觀反映介紹黨的歷史。既充分肯定成績，也對曾經出現的失誤和挫折作了一定分析。對黨史上的一系列重要事件、重要人物作出了權威的評價，對人們關心的很多問題作出了適當的回答，具有較強的準確性、權威性，是一部廣大黨員干部掌握黨的歷史的基本教材。

讀完整本書之后，我對中國共產黨以及新中國的歷史有了更深刻的認識，也明確了自己應當如何珍惜這來之不易的勝利，而作為一名入黨積極分子，更應發揮自身的先進性和模范性作用，更好的履行自己應有的責任。在看這本書的時候，我思考了很多，想到了過去，想到了新時期，想到了現在，想到了未來，想到了一句話：道路是曲折的，前途是光明的。

新時期，面對汶川地震、舟曲特大泥石流、雅安地震等自然大災害，我們的黨和政府從沒松懈，決策有力，到位，帶領我們奮戰在前線，最終我們戰勝了天災。天災無情，但人間有情，過程不容易，很艱辛，但黨和政府始終不放棄，不拋棄，凝聚了全國人民的力量，贏得了全世界尊重。在汶川地震抗災中，溫總理深情的說到：只要有一線希望，我們就要盡全部力量救人，廢墟下哪怕還有一個人，我們都要搶救到底;我就一句話，是人民在養你們，你們自己看著辦。可見，這就是一個真正為人民的黨和政府，一個值得我們永遠尊重的黨和政府，他教會了我們自強，教會了我們百折不饒。我們在感動，我們在思考，我們更需為我們黨和政府鼓掌。

一幅生活更加幸福的美好藍圖已然繪就。我們相信在黨和國家，在全中國的人的努力下，幸福會在中華大地蓬勃“起飛”!

第四篇：中國金融簡史學習心得

中國金融簡史學習心得

通過對中國金融簡史一個學期的學習，對于從商朝到現代金融體制改革的我國的金融發展有了一個系統的了解。

中國是產生貨幣較早的國家，在商代和西周時期就有了金屬鑄幣。從考古發掘和文獻記載的資料看，商、西周時期人們在交換過程中主要使用實物貨幣和金屬稱量貨幣。當時的實物貨幣有貝殼、龜甲、糧食、布匹等，金屬稱量貨幣主要是銅。

中國曾經長期領先于西方，但近代中國全方位落后于西方。中國什么時候開始落后，為什么落后，史學界眾說紛紜。其中有代表性的觀點是英國學者伊懋可的“14世紀轉折論”：傳統中國在14世紀之前技術水平達到了相當高的水平，遠遠領先于歐洲，但在14世紀開始出現了轉折點。歷史發展的內在規律發生改變，技術水平開始陷于停滯；不斷增加的人口壓力消耗了大部分農業剩余，用于發展技術的農業剩余變得相當小，因此，盡管中國傳統農業達到了一個相當高的水平，但無力在手工業技術上形成突破，陷于伊氏所謂的“高水平均衡陷阱”之中不能自拔，開始落后于歐洲。并且金融危機對中國來說并不陌生，不僅因“銀荒”、“銅荒”等實物貨幣危機曾給中國社會帶來沖擊，而且在宋朝中國發明紙幣之后，各朝代都曾因為濫印紙鈔而導致一次次金融危機，以致于以各種名字命名的紙幣在中國歷史上層出不窮。當然，也正因為除貨幣之外中國過去沒有更廣義的證券票據發展，并且直到1897年中國通商銀行成立之前也沒有現代意義的銀行，所以，在晚清之前中國的金融危機還只停留在貨幣的層面上，形式相對簡單。

唯一的例外可能要算長期存在于民間的錢莊和盛行于19世紀的山西票號。特別是票號，雖然它們算不上現代意義的銀行，但到19世紀后半葉它們的分號已擴展到北京、上海、廣州、漢口等城市。因此，從票號的覆蓋面看，它們已達到可以產生影響眾多人民生活的金融危機的水平。只是就金融規模而言，由于票號以異地匯票為主業，不是吸收存款并同時放貸，所以它們導致金融危機的潛力有限。錢莊則更是互不聯網，彼此獨立地發源于各地并服務于當地經濟，即使有些地方的錢莊發生問題，也不至于星火燎原，導致全社會的危機。當整個中國社會處于自然經濟狀態、金融化程度極低的時候，金融危機的種子確實不多。

在金融理論中，我們通常把貨幣看成一種最簡單的證券，其作用是儲存價值、幫助價值在不同時間和空間之間的轉換，所以它能產生的金融危機也最為簡單。但是，隨著現代銀行、股票、債券、期貨、期權等更為復雜的證券市場來到現代社會，潛在金融危機的規模和廣度也發生了根本性的質變。

在晚清中國涉足股票之后的頭100年里，金融危機頻頻發生。我們還得看清金融證券交易的本質。不管是銀行，還是證券，其交易的內容是具有充分流動性、甚至是匿名非定向發行的金融契約，它們的契約性質從本質上決定了對法治、對信息環境等制度架構的高度依賴性，使金融交易比任何實物商品市場更依賴法治。實物商品的有形、有色、有味本身可幫助大大減少其交易風險，而金融契約交易又恰恰不具備這些天然特征，這使金融交易市場往往蘊含著巨大的經濟風險。

首先，我們看到在1872年開始引進現代股份有限公司并讓其股票公開交易的時候，那時的清朝政府體系談不上有什么制約行政權力的憲政，也沒有獨立于行政和皇權的司法，更沒有西方意義上的非人格化的獨立第三方契約執行機制，像“股份”所代表的金融契約、“有限責任”等這些西方法律概念在以“人治”為傳統的中國社會里不僅是極為陌生的，而且是在執行的層面上無法得到支持的，也自然不能被賦予太多實際經濟價值。更何況，作為中國第一份華文日報的《申報》在1872年才創辦，大眾傳媒給剛剛在那個時期起步，因此，還沒有幫助股民們了解上市交易的股份公司的經營與財務狀況的新聞媒體。所以，在當時的“無法治”又無信息媒體的情況下，所交易的股票幾乎完全與其發行公司無任何實質性關系，而是完全獨立的投機券。于是，1882年的股票泡沫和接下來發生在1883年的金融危機幾乎是無法避免的。

當然，在1911年中華民國成立后，雖然在立法、司法與行政的架構設計上具備了應有的框架，但在執行上由于軍閥割據和內戰的原因，其實際效果則大打折扣。因此，1921年的“信交風潮”金融危機的起因原則上跟1883年的金融危機沒有本質差別，到那時候中國照樣不具備有利于減小金融危機的制度架構，證券市場仍然是炒作投機的場所，滋生泡沫和相伴的危機。

南京政府成立后，當時的憲政架構有了實質性進展，司法也相對更獨立，在契約的執行上也越來越公正可靠。但是，政府從那時開始大舉持股中國銀行、交通銀行、農業銀行，并創辦中央銀行，追求并實現了國家對銀行體系和其它金融市場的壟斷支配權，讓南京政府利用這些壟斷金融資源為當時的軍工與民用國有企業服務，為國家的軍政開支服務。具體而言，一方面銀行變成了政府的提錢機，另一方面政府控制的債券銷售體系為國家提供了大量低息債券融資，使政府的負債大大超出其支付能力。因此，1932與1936年的金融危機跟1883和1921年的金融危機有著本質差別，頭兩次應該說是在支持證券交易的制度架構不到位的情況下證券市場本身必然會產生泡沫，也會出現泡沫破裂危機。但是，1932和1936年的危機更多是發生在政府公債、銀行和貨幣信用上，是由于國家作為股東控制金融體系并利用這種控制權給自己做大量低息貸款所致。

跟民國時期相比，今天的中國仍然缺乏對權力的實質性制約，簽約執行、金融交易者的權益保護以及司法獨立也都是有待解決的問題，而解決這些問題又需要憲政改革。盡管權力缺乏實質性制約，中國經濟又以國有企業為主，金融體系比歷史上的任何時期都更加由國家壟斷，而且絕大多數的銀行和其他金融機構是國家的。特別是，在更加發達的交通網絡和信息流通網絡的支持下，銀行體系所控制的金融資源達到39萬多億，保險業控制的金融資源為1萬6千多億。在政府控制的金融資源規模上升到如此之高的同時，權力在金融資源的配置中又起著決定性的作用，道德風險被放到最大。在這種背景下，金融危機的潛在破壞性相對于1930年代的中國不但沒被縮小，反而被擴大。人們只能期待制止呆壞賬產生的制度架構。

除了推進制約行政權力、保障司法獨立的憲政改革外，當下至少可從另外兩方面著手，以降低金融危機的出現概率。第一是將國有銀行以及其他國有金融民營化，至少是鼓勵民間金融的發展。根據上面所說，這樣做至少能縮小不受制約的權力所能產生的呆壞賬規模，降低金融危機的程度，同時讓司法和市場監督機構更能獨立地運作。

其次是進一步放開新聞媒體對金融機構的監督報道。新聞媒體的自由追蹤報道可以把問題在發生的初期就曝光，迫使當事人立即解決，化解潛在的危機。相反，如果不允許媒體自由報道，使當初細小的問題也能發展積累成金融危機。以1997年的亞洲金融危機為例，當年新聞最不自由的印度尼西亞、韓國和泰國的金融危機最嚴重，事后發現的呆壞賬比例最高，其經濟和社會受到危機的沖擊也最大。相比之下，新聞歷來更自由的菲律賓、新加坡、臺灣則基本沒發生危機，基本沒受到亞洲金融危機太多的沖擊。因此，自由的新聞媒體能降低金融危機的概率。

對于剛剛過去的經濟危機，我們應該思考歷史結合現實，找到我們國家經濟發展中所存在的問題，經濟體制所存在的缺陷，學習其他國家先進的金融思想而又不照搬硬套，找尋到適合我國經濟發展的道路，避免出現我國經濟體制內部的不完善而導致新一輪對我國經濟發展造成重創的內部危機。

另外面對日益復雜的市場環境，我們需要在金融發展歷史的學習中學會變通，大膽開創新的道路，通過不斷的變革與完善，發展中國的現代金融完成中國金融業由大到強的升華。

第五篇：《數學發展簡史》

《數學發展簡史》

導言：為什么學習數學史 第一講： 早期文明中的數學1．古埃及的數學 2．巴比倫的數學 3．中國早期的數學

主講教師：王幼軍

目 錄

第二講：古希臘的數學

1．希臘數學——從愛奧尼亞到亞歷山大 2．亞歷山大時期 第三講：中國古代的數學 1．漢以前的中國數學

2．從魏晉到隋唐時期的中國數學 3．

十二、三世紀的宋元數學 第四講：印度與阿拉伯的數學 1．印度的數學 2．阿拉伯數學 第五章：數學的復興 1．中世紀的歐洲數學

2．經驗主義數學觀的形成及其對于近代數學實踐的影響 3．三次、四次方程的求根公式的解決 4．三角學的歷史 第六講：近代數學的興起 1．對數

2．解析幾何的誕生 3．微積分的產生與發展 4．概率論的產生 第七講：近代數學的發展 1．幾何學的發展 2．代數學的發展 3．分析學的發展 4．公理化運動 第八講：現代數學概觀

1．集合論悖論與數學基礎的研究 2．純數學的發展 3．應用數學的發展 4．六十年代以后的數學

導言：為什么學習數學史

1．為了更全面、更深刻地了解數學

每一門學科都有它的歷史，文學有文學史，哲學有哲學史，天文學有天文學史等等。數學有它自己的發展過程，有它的歷史。它是活生生的、有血有肉的。無論是概念還是體系，無論是內容還是方法，都只有在與其發展過程相聯系時，才容易被理解。可以說，不懂得數學史，就不能真心地理解數學。數學課本上的數學，經過多次加工，已經不是原來的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見。數學教師要把課本上的內容放到歷史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能幫助學生理解。

2．為了總結經驗教訓，探索發展規律

我國自古以來就非常重視歷史、“前事之不忘，后事之師”（《戰國策·趙策一》）早已成為人們的共識。英國哲學家培根（Francis Bacon，1561—1626）的名言“歷史使人明智”（Histories make men wise）也是盡人皆知的成語。數學有悠久的歷史，它的成長道路是相當曲折的。有時興旺發達，有時衰敗凋殘。探索它的發展規律，可以指導當前的工作，使我們少走或不走彎路，更好地做出正確的判斷，制定合理的政策。

3．為了教育的目的

（1）激發興趣，開闊眼界，啟發思維，經驗證明，在數學課中加入數學史的講授會使學生興趣盎然。任何一個靜止的事物，如果和它的歷史聯系起來，就會對它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導和證明，還指出它的思考路線，以及學者研究和發現定理的經過，課堂空氣會立刻活躍起來。教師也可以適當介紹和本定理有關的典故和趣事。學生開闊了眼界．知道一個定理的發現過程竟如此曲折，印象會非常深刻。講述定理的來龍去脈，可以開拓學生的思維，使他們從多個方面去思考問題。（如果不是專門的數學史課，史料的加入宜適而止，否則會喧賓奪主，沖淡了主題）

（2）表彰前賢，鼓勵后進。

數學是人類智慧的結晶，是全世界人民寶貴的精神財富。今天數學的繁榮昌盛，實得力于千百年來數學工作者的辛勤勞動。飲水必須思源，數典不可忘祖，他們的豐功偉績，理應載人史冊。數學史的主要內容之一，就是記述他們的生平事跡和重要貢獻，以供后人參考借鑒。其目的在于總結先輩的經驗教訓，學習他們不畏艱苦的創業精神。表彰前賢，足以鼓勵后進。

4．文化的目的

數學是文明的一個組成部分。數學不僅僅是形式化、演繹化的思維訓練，也不僅僅是一門嚴肅的、抽象的學科，數學其實是豐富多彩的文化的產物，數學中的幾乎每一步進展都反映了推進者的個人背景、時間和地點的影響，也受到當時流行的價值觀、社會思想和當時所有的資源的影響。所以，數學不僅是一種單純的知識活動，它也擁有豐富的歷史文化向度，人類豐富多彩的文化為它染上了濃重眩目的文化色彩。幾乎任何一門數學分支的發展都反映了一定時代和地域所流行的價值觀和各種因素的影響，這些因素包括游戲娛樂、美學欣賞、宗教信仰、哲學思考和實用價值探索等，在數學中它們是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除其中的任何一個方面都將給數學帶不可估量的損失。

為了探索及揭露數學發展的規律，也為了敘述的方便，常常將整個發展史劃分為若干個階段，這就是數學史的分期。分期的標準主要有兩種，一種是根據數學本身的特點（通常叫做“內史”，另一種是根據社會的歷史背景（“外史”），三是根據所接受的對象。本課程綜合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的數學，2．初等數學的發展，4近代數學的興起，5近現代數學發展，6現代數學發展概述。

學習資源：

1.李文林．數學史教程．北京：高等教育出版社，20020 2.梁宗巨，王青建，孫宏安，《世界數學通史》（上下冊），遼寧教育出版社，2004 3.王青建，《數學史簡編》，科學出版社，2004 4.張奠宙．數學史選講．上海：上海科學技術出版社，1997 5.J.F.斯科特著，《數學史》，侯德潤 張蘭譯，廣西師范大學出版社，2002 6.(美國)卡茨著，《數學史通論》，李文林等譯，高等教育出版社，2004 7.[美]H.伊夫斯，《數學史概論》（修訂本），歐陽絳譯，山西經濟出版社，1986 8.劉鈍(1993)，《大哉言數》，沈陽：遼寧教育出版社

9.M·克萊茵.數學：《確定性的喪失》，李宏魁譯.長沙:湖南科學技術出版社,1999.10.李迪主編，《中外數學史教程》，福建教育出版社，1993

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第一講：早期文明中的數學

數學最早起源于適合人類生存的大河流域，例如尼羅河流域的埃及、兩河流域的巴比倫、黃河長江流域的中國等。伴隨著這些早期文明的發展，數學也開始了它的萌芽和進程。

在有文字記載之前人類就已經有了數概念。起初人們只能認識“有”還是“沒有”，后來又漸漸有了“多”與“少”的朦朧意識。而“多”與“少”的意識原始人是在一一對應的過程中建立的。即把兩組對象進行一一比較，如果兩組對象完全對應，則這兩個組的數量就相等，如果不能完全一一對應，就會出現多少。例如，據古希臘荷馬史詩記載：波呂斐摩斯被俄底修斯刺傷后，以放羊為生。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出來一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子兒；晚上母羊返回山洞，進去一只，他就扔掉一顆石子兒，當把早晨撿起的石子兒全部扔完后，他就放心了，因為他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。

另一個方面，在長期的采集、狩獵等生產活動中原始人逐漸注意到一只羊與許多羊，一頭狼與整群狼在數量上的差異。通過一只羊、一頭狼與許多羊、整群狼的比較，就逐漸看到一只羊、一頭狼、一條魚、一棵樹??之間存在著某種共同的東西，即它們的單位性。由此抽象出數“1”這個概念。數“1”可以說是這類具有單個元素的集合的特征。可以認為，在人類發展的一個相當長的階段上，人們最早具有的數的概念是“1”，與之相對應的是一個比較確定的觀念——“多”。如上面的“數羊”，人們把一些被數物品用另外某些彼此同類的物品或標記來代替，如用手指、小石塊、繩結、樹枝、刻痕等。根據彼此一一對應的原則進行這種計算，也就是給每個被數物品選擇一個相應的東西作為計算工具，這就是早期的記數。

最早可能是手算，即用手指計數。一只手上的5個指頭可以被現成的用來表示5個以內事物的集合。兩只手上的指頭合在一起，可以數到10，再和腳趾聯合在一起，可以數到20。有人認為，現在的羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分別是1——4個手指的形象，Ⅴ是四指并攏拇指張開形象，10則畫成ⅤⅤ，表示雙手，后來又畫成X，是ⅤⅤ的對頂形式。古代俄國把1叫做“手指頭”，10則稱為“全部”。這些都是古代手指計數的痕跡。亞里士多德曾經指出，今天10進制的廣泛采用，只不過是人類絕大多數人生來就具有10個手指這樣一個解剖學事實的結果。

手算能表示出的數目畢竟有限，即使再借助于腳趾，也不過數到20。當指頭不敷用時，數到10時，擺一塊小石頭，雙手就解放了，還可以繼續數更大的數目。自然地人們會想到，可以不用手，直接用石頭記數。但記數的石子堆很難長久保存信息，于是又有結繩記數。我國有“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”的說法。“結繩而治”一般解釋為“結繩記事”或“結繩記數”。“書契”就是在物體上刻痕，以后逐漸發展成為文字。

結繩記事、記數，并不限于中國，世界各地都有，有些地方甚至到19世紀還保留這種方法，有些結繩事物甚至保存下來。例如，美國自然史博物館就藏有古代南美印加部落用來記事的繩結，當時人們稱之為基普：在一根較粗的繩子上拴系涂有顏色的細繩，再在細繩上打各種各樣的結，不同的顏色和結的位置、形狀表示不同的事物和數目。

結繩畢竟不甚方便，以后在實物（石、木、骨等）上刻痕以代替結繩。從現在的考古資料看，幾乎所有的文明古國都經歷過一個刻痕記數的階段，只是各自的形式不同而已。

無論手算、結繩還是刻痕所記下來的數還不是現在意義上的數，只是物體集合蘊涵著的數量特性從一個物體集合轉移到另一個物體集合上。也就是說，人們還不能脫離具體的物的集合來認識“數量”。但是，當人們可以任意選用這種隨手可得的東西來記數時，就離形成數的概念為期不遠了。

總之，在人類幾萬年的原始文明中，只限于一些零碎的、片斷的、不完整的知識，有些人只能分辨一、二和許多，有些能夠把數作為抽象的概念來認識，并采用特殊的字或記號來代表個別的數，甚至采用十、二十或五作為基底來表示較大的數，進行簡單的運算。此外，古人也認識到最簡單的幾何概念，如，直線、圓、角等。直到公元前三千年左右巴比倫和埃及的數學出場，數學開始取得更多的進展。

1，古埃及的數學

背景非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500—3000年間，這里曾建立了一個統一的帝國。目前我們對古埃及數學的認識，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是

約成書于公元前1650年的蘭德（Rhind）紙草書，又稱阿默士（Ahmes）紙草書。阿默士紙草書的內容相當豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分數的用法、試位法、求圓面積問題的解和數學在許多實際問題中的應用。

古埃及人將所有的分數都化成單位分數（分子為1的分數之和），在阿默士紙草書中，有很大一張分數表，把表示成單位分數之和

狀分數古埃及人已經能解決一些屬于一次方程和最簡單的二次方程的問題，還有一些關于等差數列、等比數列的初步知識。例如，在蘭德紙草書上有一個關于“堆算”的特殊篇章。這部分從本質上來說，包含的是用一元一次方程來解的問題。古代埃及人把未知數稱為“堆”，它本來的意思是指數量是未知數的谷物的堆。其中一個方程式這樣的：“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共為33”用現在的形式寫出來就是：

x?2xxx???33327埃及人還發展了卓越的幾何學。有一種觀點認為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒河流兩岸的谷地。大水過后，法老要重新分配土地，長期積累起來的土地測量知識逐漸發展為幾何學。古埃及人留下了許多氣勢宏偉的建筑，其中最突出的是約于公元前2900年興建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高達146.5米，塔基每邊平約寬230米，任何一邊與此數值相差不超過0.16米，正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一。與金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神廟。其中卡爾納克的神廟主殿總面積達5000平方米，有134根圓柱，中間最高的12根高達21米。這些宏偉建筑的落成，也離不開幾何學知識。

埃及人能夠計算簡單平面圖形的面積，計算出的圓周率為3.16049；他們還知道如何計算棱錐、圓錐、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計算，他們給出的計算過程與現代的公式相符。

2，巴比倫的數學

底格里斯河和幼發拉底河流域，希臘人稱之為美索不達米亞（Mesopotamia），原意為兩河之間的地方，統稱為兩河流域。在歷史上兩河流域一直是許多城邦以及定居的部族和游牧部族之間競爭角逐的場所。在兩河流域的歷史上，征服者和被征服者就像走馬燈一樣來來去去，其情形是極其復雜的。但是，兩河流域是個大熔爐，在這里，許多不同的部族都是由競爭角逐而趨于融合，所以各個部族的文化和技術相互融合，從而使這個地區成了西亞的先進地區。

古代巴比倫國家的位置在美索不達米亞最靠近底格里斯河和幼發拉底河河床的地方。巴比倫城位于幼發拉底河河岸上，“巴比倫人”這個名稱包括許多同時或先后居住在底格里斯河和幼發拉底河之間及其流域上的一些民族。其中蘇美爾人（Sumerians）是兩河流域古文明的奠基者）。公元1700年左右，阿摩利人漢默拉比Hammurabi王統治時期，文化得到高度的發展，這位君主以制定一部著名的法典而著稱（《漢默拉比法典》），這個時期就是所稱的古巴比倫王國。公元前八世紀，這個地區為原來住在底格里斯河上游的亞述人（Assyrians）所統治。亞述人尚武輕文，在文化方面很少有創造性的貢獻，然而，亞述帝國的政治統一卻也促進了文化的交流，使古代東方各地的文化得以融于一爐。對兩河流域的古文化，亞述人也做過一些保存和整理工作。亞述帝國的最后一個名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾經在尼尼微的宮殿里建了一座圖書館，那里收藏了二萬二千塊刻著楔形文字的泥板。一個世紀以后，亞述帝國為伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所滅，在歷史上美索不達米亞的這段時期（公元前7世紀）通常稱為伽勒底時期，也稱為新巴比倫帝國。公元前540年左右，新巴比倫帝國為居魯士（Cyrus）統治下的波斯人所征服。公元前330年，希臘軍事領袖亞歷山大大帝（Alexander the Great）征服了這個地區。歷史中所講的巴比倫數學也到此為止。

從十九世紀前期開始，在美索不達米亞工作的考古學家們進行了系統的發掘工作，發現了大約五十萬塊刻著文字的泥板，僅僅在古代尼普爾舊址上就挖掘出五萬塊。在巴黎、柏林和倫敦的大博物館中，在耶魯、哥倫比亞河賓夕法尼亞大學的考古展覽館中，都珍藏著許多這類書板，書板有大有小，小的只有幾平方英寸，最大的和一般的教科書大小差不多，中心大約有一英寸半厚。有的只是書板的一面有字，有時兩面都有字，并且往往在其四邊上也刻有字。

在公元前3500年以前，蘇美爾人就已經發明了文字。蘇美爾人用削尖了的蘆葦管做筆，把這種文字刻在泥板磚的怌塊上，在日光下或火爐上烘干，這種帶有文字的泥板就稱為泥板書。因為這種文字是刻在泥板上的，落筆處比較重，收筆處比較纖細，呈尖劈形，所以被稱為“楔形文字”（Cuneiform）。在五十萬塊書板中，約有300塊是被鑒定為載有數字表和一大批問題的純數學書板。直到1935年，由于美國學者諾伊格包爾（Otto Neugebaur）和法國學者蒂羅。丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。他們解釋了一部分數學泥板，由于這些工作還在進行，或許不久的將來還會有新的發現。

古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是借助乘法表、倒數表、平方表、立方表等數表來實現的。巴比倫人書寫數字的方法更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制（60進制），希臘人、歐洲人直到16世紀還于數學計算和天文學計算中運用這個系統，直至現在60進制仍被應用于角度、時間等記錄上。

3．中國早期的數學

中國古代數學的起源可以上溯到公元前數千年．《周易·系辭下》中說：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。百官以治，萬民以察。”《說文解字·敘》記載：“及神農氏結繩而治而統其事。”《周易》鄭玄注：“結繩為約，事大，大結其繩；事小，小結其繩。”《九家易》：“古者無文字，其有誓約之事，事大，大其繩；事小，小其繩。結之多少，隨物眾寡，各執以相考，亦足以相治也。”據此可知：結繩是神農或神農以前上古時期的一種記事方法，以繩結的大小約定事的大小，以繩結的多少約定物的多少。

契刻是較結繩晚出的一種記事方法，其作用主要是用于記數或作為契約的記數憑證。在許多古代典籍中都有關這方面的記載，《墨子·備城門》中曰：“守城之法：必數城中之木，十人之所舉為十挈（契），五人之所舉為五挈。凡輕重以挈為人數。”《周易》鄭玄注：“書之于木，刻其側為契，各持其一，后以相考合。”《列子·說符篇》說：“宋人有游于道得人遺契者，歸而藏之，密數其齒，告鄰人曰：?吾富可待也。?”

在距今約五至六千年前的仰韶文化時期出土的陶器上還刻有表示數目的符號，說明此時已開始用文字符號取代結繩記事了。

西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形等各種對稱和復雜的幾何圖案，半坡村遺址上有圓形和正方形的屋基。《史記》中記載：夏禹治水，“左規矩，右準繩”。這可以看作是中國古代幾何學的起源。

在殷商（月公元前13世紀）的甲骨文中已經使用了十進制記數法，共有13個獨立的符號，出現的最大數字為三萬。商代還用10個天干和12個地支組成甲子、乙丑等60個名稱來記60十天的日期。春秋戰國時代又出現了十進位值制籌算記數法．而戰國時代的《考工記》、《墨經》、《莊子》等著作中則探討了許多抽象的數學概念，并記載了大量實用幾何知識．

在記述中國古代早期數學內容的典籍中，《周易》是包含數學內容最豐富的著作，因而對中國古代數學家產生了極大的影響。比如，劉徽在《九章算術注》的序中就寫道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之數，以合六爻之變。”實際上就把數學方法與《周易》中的六爻、八卦等內容聯系起來了。

《周易》中的另一重要概念是太極。《周易》寫道：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”太極即太一，這段話講的是八卦產生的原理，也試圖解釋天地造分、化成萬物的原理。到周代（公元前11至公元前3世紀）又發展成64卦，表示64種事物。后經宋代陳摶的發展，便有了太極圖。

《周易》中另一個與數學相關的內容是“河圖洛書”。《周易》中有“河出圖，洛出書，圣人則之”的記載。以后，有人又把河圖洛書與八卦及九數聯系起來。例如，孔安國認為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神龜負文，而列于背，有數至九，禹遂因而第之，以成九類。”也就是說，在古人看來，八卦與九數實出于河圖洛書。

西周初期能用炬測量高、深、廣、遠，知道勾股形中的勾

三、股

四、弦五及環炬為圓等知識。西周青銅器上的金文數字與商代數字基本一致，是我們今天文字的源泉。此時，已有整數和分數的四則遠算，《韓詩外傳》中還記載了公元前7世紀齊桓公招賢納士之事，將會背“九九”乘法口訣的人當作貴客款待。

卜筮是原始人類共有的社會現象。中國古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉兇。筮，是按一定的規則得到特定的數字，并用它來預測事情的吉兇。《周禮》稱：“凡國之大事，先筮后卜。”《史記·龜策列傳》則說：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也。” 筮的工具起初是竹棍（以后出現的籌算數碼則形成了中國古代用竹棍表示數字的傳統），后來改用蓍草----一種有鋸齒的草本植物。公元前500年左右的戰國時代，算籌已得到普遍使用，算籌大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制作的。算籌的記數法采用十進位制。《墨經》（約公元前4世紀）中說：“一少于二而多余五，說在建位。”即一在個位小于二，在十位就大于五，每個數字的大小除由它本身表示的數值決定外，還要看它在整個數中所處的位置。《孫子算經》（約公元4世紀）中描述了對籌算數字的擺放方法：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵；千十相望，萬百相當” 即：個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬位又用縱式，如此縱橫相間，以免發生誤會。并規定用空位表示零。說明有縱橫兩式：

總之，在人類早期的文明中，數學還處于萌芽時期，主要包括計數、算術、初步的代數和幾何等知識。此時所呈現的數學更多的是經驗、直觀、零碎、片斷的知識，還沒有形成系統的理論體系、抽象的思維方法等。

第二講：古希臘的數學

數學作為一門獨立和理性的學科開始于公元前600年左右的古希臘。古希臘是數學史上一個“黃金時期”，在這里產生了眾多對數學主流的發展影響深遠的人物和成果，泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德、阿基米德等數學巨匠不勝枚舉。此外，在初等數學時期，東方的中國、印度與阿拉伯等地區也發展出了獨具特色的數學知識。在中世紀后期的歐洲，在獨特的中世紀文化中，東西方數學知識逐漸融合，為下一個階段數學的快速發展奠定了基礎。

1．希臘數學——從愛奧尼亞到亞歷山大

古代希臘從地理疆城上講，包括巴爾干半島南部、小亞細亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛琴海諸島等地區。這里長期以來由許多大小奴隸制城邦國組成，直到約公元前325年，亞歷山大大帝（Alexander the Great）征服了希臘和近東、埃及，他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城（Alexandria）。亞歷山大大帝死后（323B.C.），他創建的帝國 分裂為三個獨立的王國，但仍聯合在古希臘文化的約束下，史稱希臘化國家。統治了埃及的托勒密一世（Ptolemy the First）大力提倡學術，多方網羅人才，在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖 書館，使這里取代雅典，一躍而成為古代世界的學術文化中心，繁榮幾達千年之久！

希臘人的思想毫無疑問地受到了埃及和巴比倫的影響，但是他們創立的數學與前人的數學相比較，卻有著本質的區別，其發展可分為古典時期和亞歷山大時期兩個階段。

一、古典時期（600B.C.-300B.C.）

這一時期始于泰勒斯（Thales）為首的愛奧尼亞學派（Ionians），其貢獻在于開創了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達哥拉斯（Pythagoras）領導的學派，這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學團體，以「萬物皆數」作為信條，將數學理論從具體的事物中抽象出來，予數學以特殊獨立的地位。

公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化中心，各種學術思想在雅典爭奇斗妍，演說和辯論時有所見，在這種氣氛下，數學開始從個別學派閉塞的圍墻里跳出來，來到更廣闊的天地里。

埃利亞學派的芝諾（Zeno）提出四個著名的悖論（二分說、追龜說、飛箭靜止說、運動場問題），迫使哲學家和數學家深入思考無窮的問題。智人學派提出幾何作圖的三大問題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問題，是幾何學從實際應用向演繹體系靠攏的又一步。正因為三大問題不能用標尺解出，往往使研究者闖入未知的領域中，作出新的發現：圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」問題亦導致了圓周率和窮竭法的探討。

哲學家柏拉圖（Plato）在雅典創辦著名的柏拉圖學園，培養了一大批數學家，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大學派之間聯系的紐帶。歐多克斯（Eudoxus）是該學園最著名的人物之一，他創立了同時適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學生亞里士多德（Aristotle）是形式主義的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。

（1）泰勒斯﹝Tales of Miletus，約公元前625-前547﹞

古希臘哲學家、自然科學家。生于小亞細亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學學派──伊奧尼亞學派的創始人，他幾乎涉獵了當時人類的全部思想和活動領域，被尊為“希臘七賢”之首。而他更是以數學上的發現而出名的第一人。他認為處處有生命和運動，并以水為萬物的本源。泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，說明相似形已有初步認識。在天文學中他曾精確地預測了公元前585年5月28日發生的日食，還可能寫過《航海天文學》一書，并已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。

證明命題是希臘幾何學的基本精神，泰勒斯在數學方面的劃時代貢獻是開始引入了命題證明的思想，它標志著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論。這在數學史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在于： 1.保證命題的正確性，使理論立于不敗之地；

2.揭露各定理之間的內在聯系，使數學構成一個嚴密的體系，為進一步發展打下基礎； 3.使數學命題具有充份的說服力，令人深信不疑。

數學自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學。

畢達哥拉斯（以下簡稱畢氏）于紀元前580年左右出生于生于希臘東部薩摩斯﹝今希臘東部小島﹞，正是希臘黃金時代的初期，也是羅馬帝國建國的時代。在我們東方來說，就是釋迦牟尼與孔子的道學，正流行的時代。畢達哥拉斯早年曾在錫羅斯島向費雷西底﹝Pherecydes﹞學習，又曾師事伊奧尼亞學派的安約西曼德﹝Anaximander﹞，以后游歷埃及、巴比倫等地，接受古代流傳下來的天文、數學知識。他最后定居在克羅托內﹝Crotone﹞，在那里建立一個宗教、政治、學術合一的團體──畢達哥拉斯學派，它是繼伊奧尼亞學派后古希臘第二個重要的學派。這個團體后來在政治斗爭中遭到破壞，他逃到塔蘭托(Metapontum)，后終于被殺害。畢氏學派有一個教規，就是一切發現都歸功于學派的領袖，且對外保密，故討論其學術成就時，很難將畢達哥拉斯本人和他的學派分開。

畢氏學派將抽象的數作為萬物的本源，“萬物皆數”使他們的信條之一。但是，研究數的目的不是為了實際應用，而是通過揭露數的奧秘來探索宇宙的永恒真理。他們將學問分為四類，即算術、音樂﹝數的應用﹞、幾何﹝靜止的量﹞、天文﹝運動的量﹞；根據“簡單整數比”原理創造一套音樂理論；對數作過深入研究，并得到很多結果，將自然數進行分類，如奇數、偶數、完全數、親合數、三角數、平方數、五角數、六角數等等；發理勾股定理﹝西方稱為畢達哥拉斯定理﹞和勾股數﹝西方稱

為畢達哥拉斯數﹞；發現五種正多面體；發現不可通約量,甚至于音樂上也可目睹到他所遺留的許多事跡。下面我們來列舉十數種畢氏學派的貢獻,供大家見賞。

畢達哥拉斯定理是說：一直角三角形中的斜邊平方等于兩直角邊之平方和。如設三角形 ABC 三個邊為 a,b,c，其中 c 為斜邊（如圖一），則其間的關系為：a2 + b2 = c2

（3），芝諾﹝Zero of Elea，約公元前490-約前425﹞

芝諾生活在古希臘的埃利亞城邦，他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德﹝Parmenides﹞的學生和朋友。芝諾因其悖論而

著名，并因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數學史家F?卡約里﹝Cajori﹞說：“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。”由于芝諾的著作沒能流傳下來，故只能通過批評他的亞里士多德及其詮釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。現存的芝諾悖論至少有8個，其中關于運動的4個悖論：二分說、阿基里斯追龜說、飛箭靜止說、運動場悖論尤為著名。前三個悖論揭示的是事物內部的稠密性和連續性之間的區別，是無限可分和有限長度之間的矛盾。他并不是簡單地否認運動，而是反對那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的和的概念，他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。第4個悖論是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題。

芝諾編造這些悖論的目的何在，歷來有許多爭論。有人認為是為了反對“多”與“變化”，以維護他的師父 Parmenides（約紀元前五世紀）的萬有是“一”與“不變”之學說。從畢氏學派失敗的背景來觀察，芝諾是對于離散性、連續性、無窮大、無窮小等詭譎概念作詰疑。千古以來可以說是切中數學的核心。芝諾的功績在于把動和靜的關系、無限和有限的關系、連續和離散的關系惹人注意地擺了出來，并進行了辯證的考察。雖然不能肯定他對古典希臘數學的發展有無直接的重要影響，但有一點決不是偶然的巧合：柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇時，因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點，芝諾也是書中的主角之一，因此在柏拉圖學園中很自然地熱烈討論起芝諾悖論來。當時歐多克索斯正在柏拉圖學園中攻讀和研究數學與哲學。歐多克索斯在稍后的時間里創立了新的比例論，從而克服了因發現無理數而出現數學危機，并完善了窮竭法，巧妙地處理了無窮小問題。

羅素稱贊道：“幾乎所有從芝季諾時代到今日所建構出的有關時間、空間與無窮的理論，都可以在季諾的論證里找到背景基礎。”

（4），詭辯學派

希波戰爭以后，希臘商務繁榮，雅典成為文人薈萃的中心。愛奧尼亞學派的哲學家Anaxagoras（B.C.499——427）開始將愛奧尼亞的哲學輸入雅典，畢達格拉斯學派的人也群聚于此，只是過去秘密的作風已不復見。雅典人崇尚公開的精神。在公開的討論中，要想取得勝利，必須具有雄辯、修辭、哲學及數學知識。于是“詭辯學派”應運而生。“詭辯”(Sophism)一詞是使人智慧的意思，也譯作“哲人學派”或“智人學派”。

經過兩千多年的努力，數學家利用代數方法終于證明了三大難題都無解。化圓為方相當于求√π，它不是任何整系數方程的根，因而不可能用尺規作出，1882年由德國數學家林德曼證明。倍立方相當于求3√2，法國數學家范齊爾于1837年證明用尺規作不出等分任意角難在任意，有些角如90度角三等分是可以的。

（5），柏拉圖﹝Plato，約公元前427——前347﹞

公元前427年，柏拉圖出生于雅典，他自幼受到良好而完備的教育，少年時代勤奮好學、多才多藝且體格健壯。除了家庭的熏陶之外，給他影響最為深遠的莫過于正直善辯的哲學家蘇格拉底﹝Socrates﹞了，而蘇格拉底以不敬神和蠱惑青年的罪名

被處死的悲劇給柏拉圖極大的刺激，隨著年歲的增長，他對當時的政客、法典和習俗愈來愈感到厭惡，從而決心繼承蘇格拉底的哲學思想，并從事于締造理想國家的理論研究。柏拉圖曾在非洲海岸昔蘭尼跟狄奧多魯斯﹝Theodorns﹞學數學，并成為著名的阿爾希塔斯的知心朋友。約公元前387年，他回到雅典創辦他的著名學園，這是一所為系統地研究哲學和科學而開設的高等院校，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大里亞數學學派之間聯系的紐帶。公元前347年，柏拉圖以八十歲高齡死于雅典。

作為一位哲學家，柏拉圖對于歐洲的哲學乃至整個文化的發展，有著深遠的影響。特別是他的認識論，數學哲學和數學教育思想，在古希臘的社會條件下，對于科學的形成和數學的發展，起了不可磨滅的推進作用。

從柏拉圖的著作中，可以看到數學哲學領域的最初的探究。柏拉圖的數學哲學思想是同他的認識論，特別是理念論分不開的。他認為數學所研究的應是可知的理念世界中的永恒不變的關系，而不是可感的物質世界中的變動無常的關系。因此，數學的研究對象應是抽象的數和理想的圖形。他在《理想國》中說：“我所說的意思是算術有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數進行推理，而反對在論證中引入可見的和可捉摸的對象。”他在另一處談到幾何時說：“你豈不知道，他們雖然利用各種可見的圖形，并借此進行推理，但是他們實際思考的并不是這些圖形，而是類似于這些圖形的理想形象。??他們力求看到的是那些只有用心靈之日才能看到的實在。”

如果說數學概念的抽象化定義始于畢達哥拉斯學派，那么，柏拉圖及其學派則把這一具有歷史意義的工作大大地向前推進了。他們不僅把數學概念和現實中相應的實體區分開來，并把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴格地分開。柏拉圖是從理念論的角度去探討數學概念的涵義的。亞里士多德闡釋說，柏拉圖是將數學對象置于現實對象與理念之間的，數學對象因其常駐不變而區別于現實對象，又因其可能有許多同類對象而區別于理念。

柏拉圖十分強調脫離直觀印象的純理性證明，并嚴格地把數學作圖工具限制為直尺圓規。這種主張對于形成歐幾里德幾何公理演譯體系，不無促進作用。

柏拉圖也十分重視整數的學問，他在很大程度上繼承了畢氏學派的『萬物皆數』的觀點。他認為宇宙間的天體以至萬物都是按照數學規律來設計的。依賴感官所感覺到的世界是混亂和迷離的，因而是不可靠的和無價值的，只有通過數學才能領悟到世界的實質。

此外，柏拉圖學派在數學中引入了分析法和歸謬法；他給出了點、線、面、體的定義；他對軌跡也有較早的認識，還研究了棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的問題。在算術方面，他們發現了級數的不少重要性質。在天文學方面，他們不只是追尋天文觀測的表象，而是尋求完美的有關天體的數學理論。總之，柏拉圖學派主張嚴密的定義與邏輯證明，促成了數學的科學化。

自公元前387年開始，柏拉圖就把創建和主持學園教育作為自己最重要的事業。雖然他認為學園的辦學宗旨是培養具有哲學頭腦的優秀政治人材，直至造就一個能夠勝任治國重任的哲學王，但他深信：從事數學研究能培養人的思維能力，并因此是哲學家和那些要治理他的理想國的人所必須具備的基本素養。故學園在具體課程設計上繼承和發展了畢氏學派的以數學為主課的方針。據說，他的學園門口寫著：“不懂幾何者，不得入內”。

柏拉圖倡導多層次的數學教育，在某種意義上也體現了一種因材施教的原則。柏拉圖首次提出了普及數學教育的主張：『應該嚴格規定貴城邦的全體居民務必學習幾何。??經驗證明，學過幾何的人在學習其它任何學問時，要比未學過幾何的人快得多。』在柏拉圖的指導下，學園的數學教育取得極大的成功。在公元前四世紀的希臘，絕大多數知名數學家都是柏拉圖的學生或朋友，他們以柏拉圖學園為數學交流活動的中心場所，形成以柏拉圖為核心的學派，史稱柏拉圖學派。

美國數學史家博耶評論說：“雖然柏拉圖本人在數學研究方面沒有特別杰出的學術成果，然而，他卻是那個時代的數學活動的核心??，他對數學的滿腔熱誠沒有使他成為知名數學家，但卻贏得了‘數學家的締造者’的美稱。”

（6），歐多克索斯﹝Eudoxus，約公元前400-前347﹞

歐多克索斯是古希臘時代成就卓著的數學家和天文學家，生于尼多斯。曾受教于柏拉圖及阿爾希塔斯。

歐多克索斯對數學的最大功績是創立了關于比例的一個新理論。他首先引入“量”的概念，將“量”和“數”區別開來。

用現代術語來說，他的“量”指的是連續量，而“數”是離散的，僅限于有理數。其次，改變“比”的定義為：“比”是同類量之間的大小關系。從這一定義出發可以推出有關比例的若干命題，而不必考慮這些量是否可公度。這在希臘數學史上是一個大突破。其創立之比例論，成為歐幾里得《幾何原本》，特別是其中五、六、十二卷的主要內容。事實上，19世紀的無理數理論是歐多克索斯思想的繼承和發展。不過歐多克索斯理論是建立在幾何量的基礎之上的，因而回避了把無理數作為數來處理。盡管如此歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎。為了防止在處理這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據的演繹體系，從而大大推進了幾何學的發展。從他以后，幾何學成了希臘數學的主流。（7），亞里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）

亞里士多德出生于希臘北部的斯塔吉拉，父親是馬其頓國王的御醫。公元前367年，17歲的亞里士多德到當時希臘的文化中心雅典，進入柏拉圖的阿卡德米學園學習。由于他聰敏過人，深受柏拉圖的喜愛，成為柏拉圖的得意門生。他在學園一共學習了20年，直到柏拉圖去世。柏拉圖去世以后，他到小亞細亞各城邦去講學。公元前343年，他42歲時，應馬其頓王的邀請，擔任王子亞力山大的老師。當時亞力山大只有13歲。公元前335年，亞里士多德回到雅典，創辦一所學園，名叫呂克昂（Lyceum）。他在這里從事學術研究和教學活動達13年。亞力山大王去世以后，他被迫離開雅典，把呂克昂交給別人管理。次年病逝，享年63歲。他去世以后，呂克昂繼續存在了幾百年。

如果說柏拉圖是一位綜合型的學者，那亞里士多德就是一位分科型的學者。他總結了 前人已經取得的成就，創造性的提出自己的理論，在幾乎每一學術領域，亞里士多德都留 下了自己的著作。從第一哲學著作《形而上學》，物理學著作《物理學》、《論生滅》、《論天》、《天象學》、《論宇宙》，生物學著作《動物志》、《論動物的歷史》、《論 靈魂》，到邏輯學著作《范疇篇》、《分析篇》，倫理學著作《尼各馬可倫理學》、《大 倫理學》、《歐德謨斯倫理學》，以及《政治學》、《詩學》、《修辭學》等，他的著作 幾乎遍及每一個學術領域，他是一位名符其實的百科全書式的學者。

亞里士多德對數學的本性及其與物理世界的關系所發表的看法影響很大。例如，他討論定義：一個定義只能告訴我們一件事物是什么，并不說明它一定存在。定義了的東西是否存在有待證明。亞里士多德還討論數學的基本原理： 把公理個公設加以區別。公理是一切科學所公有的真理，而公設只是為某一門科學所接受的第一性原理。亞里士多德認為邏輯原理都是公理，公設無需是不言自明的，其是否為真受所推出的結果檢驗，列出的公理和公設數目越少越好。這些思想對以后歐幾里德的思想起了重要的影響。

亞里士多德的另一個重大貢獻就是創立邏輯學。他的邏輯對數學也產生了極大的影響，他的邏輯基本原理，如矛盾律：一個命題不能既是真又是假的；排中律：一個命題必須是真的或是假的??等原理是數學中間接證法的核心。

2.亞歷山大時期（300B.C——641A.D.）

這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界，分為前后兩個時期。亞歷山大前期和亞歷山大后期，前期出現了希臘化數學的黃金時期，代表人物是名垂千古的三大數學家：歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）及阿波羅尼烏斯（Appollonius）。歐幾里得總結古典希臘數學，用公理方法整理幾何學，寫成13卷《幾何原本》（Elements）。這部劃時代歷史巨著的意義在于它樹立了用公理法建立起演繹數學體系的最早典范。阿基米得是古代最偉大的數學家、力學家和機械師。他將實驗的經驗研究方法和幾何學的演繹推理方 法有機地結合起來，使力學科學化，既有定性分析，又有定量計算。阿基米得在純數學領域涉及的范圍也 很廣，其中一項重大貢獻是建立多種平面圖形面積和旋轉體體積的精密求積法，蘊含著微積分的思想。阿波羅尼烏斯的《圓錐曲線論》（Conic Sections）把前輩所得到的圓錐曲線知識予以嚴格的系統化，并做出新的貢獻，對17 世紀數學的發展有著巨大的影響。亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼（Eratosthenes）也是這一時期有名望的學者。

亞歷山大后期是在羅馬人統治下的時期，但是希臘的文化傳統尚未被破壞，學者還可繼續研究，然而已沒有前期那種磅礡的氣勢。這時期出色的數學家有海倫（Heron）、托勒密（Plolemy）、丟番圖（Diophantus）和帕普斯（Pappus）。丟番圖的代數學在希臘數學中獨樹一幟；帕波斯的工作是前期學者研究成果的總結和補充。之后，希臘數學處于停滯狀態。

公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚（第一次是在公元前46年），希臘數學悠久燦爛的歷史，至此終結。亞歷山大里亞有創造力的日子也隨之一去不復返了。

（1）歐幾里得﹝Euclid，約公元前330─約公元前275﹞

關于歐幾里得，除了知道他是歷時長久的亞歷山大數學學派的奠基人外，對他的生平所知甚少，僅估計他很可能在雅典的柏拉圖學園受過數學訓練。

在歐幾里得之前，古希臘的數學知識已經累積得相當豐富，于是有人將它們整理成冊，例如希波克拉底就是第一位進行匯

編的人。歐幾里得也總結了他那個時代古希臘的所有數學成果，編輯成13卷的《幾何原本》，以下簡稱《原本》。此書最重要的特色是公理化系統的結構：由少數幾條公理(axioms)出發，推導出所有的幾何定理。公理是「直觀自明」的真理，是數學的源頭，無法證明，也不必證明。歐氏的曠世名著，使得其它版本都黯然無光，乃至消失。《幾何原本》所引起的效果正如古人所說：“月升燈失色，風起扇無功”。

歐幾里得的《幾何原本》﹝Elements﹞是一部劃時代的著作，就其大部份內容來說，是對于公元前七世紀以來，希臘幾何積聚起來的豐富成果作出高度成功的編纂和系統的整理，其主要功績在于對命題的巧妙選擇，和把它們排列進由少數初始假定出發，演繹地推導出的合乎邏輯的序列中。換言之，《原本》偉大的歷史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的最早典范。

五條公設

1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。2.線段(有限直線)可以任意地延長。

3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。

5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小于兩個直角，則兩直線作延長時在此側會相交。五條公理

1.跟同一個量相等的兩個量相等；即若 a=c 且 b=c，則 a = b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，則 a+c = b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，則 a-c = b-d（等量減法公理）。4.完全迭合的兩個圖形是全等的（移形迭合公理）。5.全量大于分量，即 a+b>a（全量大于分量公理）。一般公理不止適用于幾何學，對于其它學科也行得通。23 個定義

（2）“數學之神”──阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）

阿基米德于公元前２８７年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古（Syracuse）的貴族之家。父親是位數學家兼天文學家。阿基米德從小有良好的家庭教養，他在年輕時曾在亞力山大求學，不過大半生都待在他老家西西里島的敘拉古，受國王 Hieron 的贊助從事研究工作。

阿基米德與歐幾里德、阿波羅尼并列為希臘三大數學家，也有人甚至說他是有史以來最偉大的三個數學家之一（其他二位

是牛頓與高斯）。他的主要數學貢獻是求面積和體積的工作。在他之前的希臘數學不重視算術計算，關于面積和體積，數學家們頂多證明一下兩個面積或體積的比例就完了，而不再算出每一個面積或體積究竟是多少。當時連圓面積都算不出來，因為比較精確的π值還不知道。從阿基米德開始，或者說從以阿 基米德為代表的亞歷山大里亞的數學家開始，算術和代數開始成為一門獨立的數學學科。阿基米德發現的一個著名的定理是：任一球的面積是外切圓柱表面積的三分之二，而任一球的體積也是外切圓柱體積的三分之二。這個定理是從球面積等于大圓面積的四倍這一定理推來的，據說，該定理遵遺囑被刻在阿基米德的墓碑上。

阿基米德發明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結合是嚴格證明與創造技巧相結合的典范。阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進行比較，而后一組的總和比較容易計算。因此，“平衡法”實際上體現了近代積分法的基本思想，是阿基米德數學研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格的證明。

《拋物線求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。”他還用力學權重方法再次驗證這個結論，使數學與力學成功地結合起來。

《論螺線》，是阿基米德對數學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數和算術級數求和的幾何方法。

《論錐型體與球型體》，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。

（3）阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）

阿波羅尼奧斯出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生學習，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數學成就是在前人工作的基礎上創立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。

阿波羅尼奧斯用統一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質的廣泛討論，內容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數等。《圓錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關于圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述，則包含了射影幾何學的萌芽思想。

（4）埃拉托塞尼﹝Eratosthenes，約公元前276─約前195﹞

埃拉托塞尼出生于地中海南岸的昔蘭尼﹝現北非利比亞舍哈特﹞，卒于亞歷山大。他早年在雅典學習，大約四十歲時，接

受埃及的托勒玫三世的邀請，來到亞歷山大當他兒子的家庭教師，約公元前235年起擔任亞歷山大附設于博物館的圖書館館長。埃拉托塞尼晚年因患眼疾，以致雙目失明，他無法忍受不能讀書的痛苦，竟絕食而死。

埃拉托塞尼在當時所有的知識領域里都是奇才。他是一位杰出的數學家、天文學家、地理學家、歷史學家、哲學家、詩人和運動員。早年在雅典受過教育，先后師事逍遙學派的阿里斯頓，柏拉圖學派的阿凱西勞斯和犬儒學派的塞翁等。后到亞歷山大，又跟隨詩人卡利馬科斯學習詩詞。他的博學多才，后來贏得“五項全能”﹝Pentathlus﹞的雅號。他是阿基米德的摯友，曾受到阿基米德的高度評價。著作有《地理學》、《地球的測量》、《倍立方問題》、《論平均值》、《柏拉圖》等，可惜只有很少的片斷流傳下來。埃拉托塞尼最受人贊揚和傳誦的業績是測量地球的周長，其特點是原理簡單，方法易行，結果也較精確。他的另一項膾炙人口的發明是尋找素數的方法，即所謂埃拉托塞尼篩，記載于尼科馬霍斯《算術入門》第十三章中，即要在自然數列中從小到大找出素數，先從3開始，將奇數列寫出，3是第一個素數，將3后面所有3的倍數都劃去；3后面第一個未被劃去的數是5，將5后面所有5的倍數都劃去；5后面第一個未被劃去的數是7，將7后面所有7的倍數都劃去，重復這一步驟，直到所寫出的數列最后一個數，未被劃去的就是素數。

（5）海倫（Heron of Alexandria, 公元62年左右）

希臘數學家、力學家、機械學家。約公元62年活躍于亞歷山大，在那里教過數學、物理學等課程。他多才多藝，善于博采眾長。在論證中大膽使 用某些經驗性的近似公式，注重數學的實際應用。主要貢獻是《度量論》一書。該書共3卷，分別論 述平面圖形的面積，立體圖形的體積和將圖形分成比例的問題。其中卷Ｉ第8題給出著名的海倫公式 的證明，設三角形邊長分別是a、b、c，s是半周長（即s=(a+b+c)/2），Δ是三角形的面積，則有Δ＝

。海倫用文字敘述了這一公式的證明，并舉例加以 說明。現已公認海倫公式是阿基米德發現的，但這個名稱已成為習慣用法。他的成就還有：正3到正12邊形面積計算法；長方臺體積公式；求立方根的近似公式等。

（6）丟番圖﹝Diophantus of Alexandria，約公元250年前后﹞

對于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩文選》﹝The Greek anthology﹞【這是公元500年前后的遺

物，大部份為語法學家梅特羅多勒斯﹝Metrodorus﹞所輯，其中有46首和代數問題有關的短詩﹝epigram﹞。

亞歷山大的丟番圖對代數學的發展起了極其重要的作用，對后來的數論學者有很深的影響。他有幾種著作，最重要的是《算術》，還有一部《多角數》，另一些已遺失。《算術》是一部劃代的著作，它在歷史上影響之大，可和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。

丟番圖的《算術》是講數論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程。現在對于具有整數系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數論的一個分支。不過丟番圖并不要求解答是整數，而只要求是正有理數。從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的范圍。代數學區別于其它學科的最大特點是引入了未知數，并對未知數加以運算。就引入未知數，創設未知數的符號，以及建立方程的思想﹝雖然未有現代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數。

（7）帕普斯﹝Pappus of Alexandria，約公元300─350年﹞

公元4世紀，希臘數學已成強弩之末。“黃金時代”﹝300 B.C─200 B.C﹞幾何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亞歷山大被羅馬人占領，學者們雖然仍能繼續研究，然而已沒有他們的先輩那種氣勢雄偉、一往無前的創作精迪。公元后，興趣轉向天文的應用，除門納勞斯﹝Menelaus of Alexandria公元100前后﹞、托勒密﹝Claudius Ptolemy，約公元85-165﹞在三角學方面有所建樹外，理論幾何的活力逐漸雕萎。此時亞歷山大的帕普斯正努力總結數百年來前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳，敘寫了希臘數學的最后一頁。

帕普斯給歐幾里得《幾何原本》和《數據》以及托勒密的《至大論》和《球極平面投影》作過注釋。寫成八卷的《數學匯編》﹝Mathematical Collection﹞──對他那個時代存在的幾何著作的綜述評論和指南，其中包括帕普斯自己的創作。但第一卷和第二卷的一部份已遺失，許多古代的學術成果，由于有了這部書的存錄，才能讓后世人得知。例如芝諾多努斯的《等周論》，經過帕普斯的加工，被編入于第五卷之中。當中有關于“圓面積大于任何同周長正多邊形的面積”、“球的體積大于表面積相同的圓錐、圓柱”、“表面積相同的正多面體，面積愈多體積愈大”等命題。對于希臘幾何三大問題也作了歷史的回顧，并給出幾種用二次或高次曲線的解法。在第七卷中則探討了三種圓錐曲線的焦點和準線的性質，還討論了“不面圖形繞一軸旋轉所產生立體的體積”，后來這叫做“古爾丁定理”，因為后者曾重新加以研究。

總括而言，希臘數學的成就是輝煌的，它為人類創造了巨大的精神財富，不論從數量還是從質量來衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數學家取得具體成果更重要的是：希臘數學產生了數學精神。即數學證明的演繹推理方法。數學的抽象化以及

自然界依數學方式設計的信念，為數學乃至科學的發展起了至關重要的作用。而由這一精神所產生的理性、確定性、永恒的

第三章．中國古代的數學 1．漢以前的中國數學

幾乎和古希臘同時的戰國時期的百家爭鳴也促進了中國數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關出的許多抽象概念。其中著名的有《墨經》中關于幾何的定義和命題，例如，圓，一中同長也，即圓是從中心到周界有相同長度的圖形。平，同高也，即平行線之間的高度相同。等等。

周秦以來逐漸發展起來的中國古代數學，經過漢代更進一步的發展，已經逐漸形成了完整的體系，中國傳統數學自古就受到天文歷法的推動，秦漢時期天文歷法有了明顯的進步，涉及的數學知識水平也相應提高。西漢末年編纂的《周髀算經》是一部以數學方法闡述的天文著作，用對話一問一答的形式寫出的，提出勾股定理的特例和提出測太陽高、遠的方法，為后來重差術的先驅。

《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立并鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以算法為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系。

總之，《九章算術》有幾個顯著的特點：采用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。

2．從魏晉到隋唐時期的中國數學

東漢《九章算術》出現以后，注釋與修正的工作在不斷進行著。魏晉趙爽作《勾股方圓圖注》，利用勾股定理完成一般一元二次方程(首項系數可以為負，三國時代，劉徽注《九章算術》(263年)。《九章算術》中取圓周率為3，劉徽提出「割圓術」，計算正192邊形的面積，求得3.141的三位小數近似值。其后南北朝祖沖之(429-500)更把這結果向前推進，在《綴術》一書中，找到3.1415926的密率。

如果將《九章算術》的內容當作中國數學的雛型，那么自東漢到隋唐(即公元第二世紀到第十世紀)，可稱為它的發展期，隋唐以后漸臻成熟。到十三世紀南宋及元初，才進入中國數學的黃金時代。

著作方面，唐朝《新唐書藝文志》中收錄的《十部算經》(李淳風注)很 能夠反應發展期的數學水平。《十部算經》除收集早期的《周髀》《九章》之外還包羅了

《海島算經》(劉徽，263年)《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》(皆為第三、四世紀之作，但夏侯陽現傳本則迭經增補，搜集的材料包含到第八世紀的有關內容)《五曹算術》、《五經算術》(《五曹》為官吏手卌，《五經》則傾向玄學，無甚內容)《輯古算經》(唐、王孝通，626年稍后定成)另外亦含第五世紀祖沖之所作《綴術》，惜已失傳。十三世紀宋朝再刻《十部算經》時，便以《數術記遺》代之，成為現存的《算經十書》。

3．十二、三世紀的宋元數學

宋元兩代，中國數學進入了黃金時期，尤其到了十三世紀成就更趨輝煌。不只相對于中國本身古來的數學得到空前的發展，放眼于當時阿拉伯、印度及歐洲各地的數學水平，也是處于領先的地位。

宋元黃金時期的數學家一般以南方的秦九韶、楊輝，北方的李治、朱世杰為代表，合稱秦、李、楊、朱四大家。事實上，四家之前有北宋支持王安石變法的沈括(1031-95)。沈括晚年著有《夢溪筆談》，討論「隙積術」，開創了高階等差級數的研究。又有楚衍(與沈括約同時代在司天監工作)的學生賈憲，作「增乘開方法」引進隨乘隨加的方法，開平方開立方法。由于隨乘隨加的方法暗含著二項式定理的系數分配，這種開方法馬上可以推廣到高次開方,為其后不久劉益，秦九韶作一般高次方程的數值解法鋪路。在西方，高次方程的數值解法要延到十九世紀才由 Ruffini(1804)與Horner(1819)具體提出，西方數學慣稱為Horner method(霍納方法)。

值得注意，不管在代數方法或轉化方法上，中國數學家在定量方面的努力都已接近飽和，必須轉向去做些定性的工作。例如在代數方法上有了天元術、四元術，便須轉個方向去考慮根與系數的定性關系，才能再往前推進，做出像十九世紀 Abel, Galois 的方程論那樣的工作。而在轉化方法上，有了個別關系也須要改做些定性的考慮，到定性方面去找尋有系統的轉化關系，發展出像解析幾何之類的工作。

但變量數學終究不曾出現在中國，道理還是社會條件不夠，當時中國社會以天文歷法所需的數學最為繁復。內插法是一種逼近，隱約有了變量數學成份。但變量數學得以發展的真正關鍵在于引入變化率。日月五星的運行雖也有變量，但運行的瞬間速度在當時還不必去考慮，不像在歐洲，力學已發展到須要找出運動規律的時候了。十三世紀前的中國數學在局部化方法上所作的貢獻只限于三次函數的內插逼近及早先祖沖之的 Cavalieri 原理。

宋元以后，明代理學對科學技術與思想發展造成一定束縛。除程大位《算法統宗》繼吳敬,徐心魯等人將籌算改良，發展為珠算，便利四則計算之外，明朝兩百年間，不僅沒繼承宋元數學而持續發展，甚至宋元著作散失，數學水平普遍下降。明末清初，西方傳教士陸續來華之時，中國數學正處低潮時期，兩種文化的交會結束了中國本土數學的發展。

第四講章．印度與阿拉伯的數學

1．印度的數學

印度是世界上文化發達最早的地區之一，印度數學的起源和其它古老民族的數學起源一樣，是在生產實際需要的基礎上產生的。但是，印度數學的發展也有一個特殊的因素，便是它的數學和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發展的。再加上佛教的交流和貿易的往來，印度數學和近東，特別是中國的數學便在互相融合，互相促進中前進。另外，印度數學的發展始終與天文學有密切的關系，數學作品大多刊載于天文學著作中的某些篇章。

約在三千七百年前，Harappa 文化已開始式微。等到約三千五百年前，亞利安人從中亞進入印度的恒河流域時，這支文化已經消失殆盡。

亞利安人發展了世襲的種姓制度，婆羅門（教士）與武士享有統治權。婆羅門掌管知識，并且不讓平民有一絲一毫的教育；為此，他們反對寫作，而婆羅門教圣詩吠陀(Veda)則以口述承傳。亞利安人在印度頭一千年的歷史就因文獻不足而不清不楚。在數學方面，我們只能從吠陀的經文中看出，他們和別的民族一樣，也在天文方面花了一些心思。公元前六世紀，佛教興起，屏棄了婆羅門教的閉鎖性格，于是文學萌芽，歷史也開始有了可靠的文獻。

公元前326年，亞歷山大大帝曾經征服了印度的西北部，使得希臘的天文學與三角學傳到了印度。緊接著亞歷山大大帝之后，孔雀王朝（Maurya，公元前320～185年）興起，在其阿育王時代（公元前272～232年）勢力達到頂峰，領土不但包括印度次大陸的大部分，而且遠如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教為國教，每到一重要城市總要立下石柱。從數學的眼光來看，這些石柱讓人感興趣，因為在石柱上我們可以找到印度阿拉伯數字的原形。

從八世紀開始印度教興起，同時回教勢力也開始侵入，佛教在兩者夾攻之下逐漸式微。到了公元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。這種宗教信仰的變遷，對印度的文化是有非常具大的影響的。印度的數學從此之后就停止不前。

十六世紀初，中亞的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀兒帝國。到了十九世紀，英國的勢力完全取代了蒙兀兒，成為印度的主宰者。這一段時期，印度雖然有比較統一的局面，但數學方面仍然沒有進展。因此十二世紀的 Bhaskara 可以說是印度傳統數學的最后一人。直到二十世紀初，印度數學會成立（1907年），出版學會雜志（1909年），而且又產生了數學怪才Ramanujan（1887～1920年），印度的數學終于漸有起色，而投入了世界數學的發展洪流中。

然而印度的傳統數學在算術及代數方面則有相當的成就；這些包括建立完整的十進制記數系統，引進負數的觀念及計算，使代數半符號化，提供開方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。

拉普拉斯對十進位值制記數法的評價：“用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。”

2．阿拉伯數學

從九世紀開始，數學發展的中心轉向阿拉伯和中亞細亞。自從公元七世紀初伊斯蘭教創立后，很快形成了強大的勢力，迅速擴展到阿拉伯半島以外的廣大地區，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區內，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯數學，就是指用阿拉伯語研究的數學。

從八世紀起，大約有一個到一個半世紀是阿拉伯數學的翻譯時期，巴格達成為學術中心，建有科學宮、觀象臺、圖書館和一個學院。來自各地的學者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過程中，許多文獻被重新校訂、考證和增補，大量的古代數學遺產獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來文化的基礎上，迅速發展起來，直到15世紀還充滿活力。

三角學在阿拉伯數學中占有重要地位，它的產生與發展和天文學有密切關系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎上發

展了三角學。他們引進了幾種新的三角量，揭示了它們的性質和關系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數表。其中著名的數學家有：阿爾?巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜爾?維法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿爾?比魯尼﹝Al-Beruni﹞等。系統而完整地論述三角學的著作是由十三世紀的學者納西爾丁﹝Nasir ed-din﹞完成的，該著作使三角學脫離天文學而成為數學的獨立分支，對三角學在歐洲的發展有很大的影響。

第五講：數學的復興 1．中世紀的歐洲數學

羅馬人活躍于歷史舞臺上的時期大約從公元前七世紀至公元五世紀。他們在軍事上和政治上曾取得極大成功，在文化方面也頗有建樹，但他們的數學卻很落后，只有一些粗淺的算術和近似的幾何公式。著名的科學書籍有維特魯維尼斯的《建筑十書》﹝公元前14年﹞。書中比較注重處理數學問題，使用了建筑物的平面體和立視圖，可以看到畫法幾何的萌芽。此外，羅馬人對歷法改革也有一定的貢獻。中世紀原指古代文化衰落（五世紀）到意大利文藝復興（十五世紀）之間漫長的一千年。從科學史角度來看，在這段時期內，人類從希臘科學文明和羅馬統治的高峰跌落，再沿著現代知識的斜坡掙扎向上。這一時期只出現少數幾位熱心學術的學者和教士：殉道的羅馬公民博埃齊﹝Boethius﹞，英國的教士學者比德﹝Bede﹞和阿爾克溫﹝Alcuin﹞，著名的法國學者、教士熱爾拜爾﹝Gerbert﹞──他后來成了教皇西爾維斯特二世﹝Pope Sylvester II﹞。

在這樣一種價值取向下，數學的最基本的思想、方法和觀念等成分漸漸被吸納進基督教體系中去，并成為構建基督教體系所必須的條件之一。這一點特別明顯地體現在九世紀著名的經院哲學家和神學家薩阿迪亞·果昂(Saadia Gaon，892-942)的著作中。在他的系統的神學理論中已經曾現出十九世紀和二十世紀數學所特有的某些方法和思維過程。如薩阿迪亞在他的著作中曾

把上帝的存在作為假定，而上帝的唯一性被證明出來，并且以后所賦予上帝的一些性質通過抽象推理和《圣經》的象征手法有趣地結合而推導出來。在這里希臘人的方法與希伯來傳統結合起來。這也引出了近現代數學中的“唯一性問題”。

這種思想經過幾個世紀的醞釀，最終在十六、十七世紀達到其頂峰，讓我門看一看法國數學家、哲學家笛卡兒帶有強烈的唯意志論特征的一段話：“數學真理，如同其他一切受造之物一樣，也都是由上帝所確立，并依賴于上帝。??上帝能夠做我們所理解的一切事情，我們不可以說上帝無法做我們所不理解的事情。因為，認為我們的想象力可以窮盡上帝力量的那種想法是？越而狂妄的。”所以，對于此時的歐洲學者來說，上帝就是一位至高無上的數學家，人類不可能指望像上帝那樣清楚地明白上帝的意圖，但人至少可以通過謙恭的態度和理性的思考來接近上帝的思想，就可以明白神創造的世界。近代數學的產生和進展就直接得益于這種宗教觀念的提升和促進，由此為近代數學發展超越古希臘階段提供了一個必要的形而上學基礎。

十二世紀是數學史上的大翻譯時期，是知識傳播的世紀，由穆斯林保存下來的希臘科學和數學的經典著作，以及阿拉伯學者寫的著作開始被大量翻譯為拉丁文，并傳入西歐。當時主要的傳播地點是西班牙和西西里，著名的翻譯家有巴思的英國修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫納的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的羅伯特﹝Robert﹞等等。

十四世紀相對地是數學上的不毛之地，這一時期最大的數學家是法國的N?奧雷斯姆﹝Oresme﹞，在他的著

作中，首次使用分數指數，還提出用坐標表示點的位置和溫度的變化，出現了變量和函數的概念。他的工作影響到文藝復興后包括笛卡爾在內的學者。

2．經驗主義數學觀的形成及其對于近代數學實踐的影響

在古希臘哲學家畢達哥拉斯和柏拉圖那里，數學是一門獨立的、專門的學科，它被賦予了完美與和諧的性質。他們把數學孤立起來看待，認為數學是人們通往理念世界的階梯，而當完美的數學與不完美的可感知世界產生矛盾時，現實是被校正的對象。柏拉圖尤其認為在現象世界中物質阻礙了對數學理念的精確反映。柏拉圖甚至憎惡“幾何學”這個名詞，他認為在幾何學這門學科中存在著太多的使人聯想起受做工作的名詞，“這門學科所用的語言散發著奴隸的氣息”，數學研究是一種崇高而且有哲理性的職業，但與應用有關的則是卑劣粗俗的[8]。

在文藝復興時期，畢達哥拉斯和柏拉圖所強調的自然是依照數學設計的信念廣泛地為歐洲的知識分子所接受。

近代數學在這種完全嶄新的文化氛圍中邁開了步伐。由于技工與學者相互合作、邏輯思辨與實驗科學攜手大大刺激了數學中新的觀點、新的理論和方法的產生，這時，數學一方面從實驗的自然科學中吸取了的靈感，激發了眾多新學科的創造，如對數、三角學的形成，微積分的產生與分析學的發展都是建立在自然科學的研究的基礎上的。另一方面，數學的成果也日益廣泛的被應用到其他自然科學的研究中去。實際上，從開普勒、笛卡爾、伽利略、牛頓到十八世紀的拉普拉斯，他們在一般方法上或具體研究中都是以數學家的身份去探索自然的。依靠數學的指導，建立定量化的規律，從而導出了極有價值的科學成果。

這一時期，在數學中首先發展起來的是透視法。藝術家們把描述現實世界作為繪畫的目標，研究如何把三維的現實世界繪

制在二維的畫布上。

文藝復興時期更出版了一批普及的算術書，內容多是用于商業、稅收測量等方面的實用算術。印度─阿拉伯數碼的使用使

算術運算日趨標準化。

符號代數學的最終確立是由16世紀最著名的法國數學家韋達﹝Viete﹞完成的。他在前人工作的基礎上，于1591年出版了

名著《分析方法入門》﹝In artem analyticam isagoge﹞，對代數學加以系統的整理，并第一次自覺地使用字母來表示未知數和已知數，使代數學的形式更抽象，應用更廣泛。韋達在他的另一部著作《論方程的識別與訂正》﹝De aequationum recognitione et emendatione, 1615﹞中，改進了三、四次方程的解法，還對n = 2、3的情形，建立了方程根與系數之間的關系，現代稱之為韋達定理。

文藝復興時期在文學、繪畫、建筑、天文學各領域都取得了巨大的成就。數學方面則主要是在中世紀大翻譯運動的基礎上，吸收希臘和阿拉伯的數學成果，從而建立了數學與科學技術的密切聯系，為下兩個世紀數學的大發展作了準備。

3．三次、四次方程的求根公式的解決

代數學在文藝復興時期獲得了重要發展。最杰出的成果是意大利學者所建立的三、四次方程的解法。卡爾達諾在他的著作《大術》﹝Ars magna，1545﹞中發表了三次方程的求根公式，但這一公式的發現實應歸功于另一學者塔爾塔利亞﹝Tartaglia﹞。四次方程的解法由卡爾達諾的學生費拉里﹝Ferrari﹞發現，在《大術》中也有記載。稍后，邦貝利﹝Bombelli﹞在他的著作中闡述了三次方程不可約的情形，并使用了虛數，還改進了當時流行的代數符號。

4．三角學的歷史

早期三角學不是一門獨立的學科，而是依附于天文學，是天文觀測結果推算的一種方法，因而最先發展起來的是球面三角學．希臘、印度、阿拉伯數學中都有三角學的內容，可大都是天文觀測的副產品．例如，古希臘門納勞斯（公元100年左右）著《球面學》，提出了三角學的基礎問題和基本概念，特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理；50年后，另一個古希臘學者托勒密著《天文學大成》，初步發展了三角學．而在公元499年，印度數學家阿耶波多也表述出古代印度的三角學思想；其后的瓦拉哈米希拉（約505～587）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學．當然，所有這些工作都是天文學研究的組成部分．直到納西爾丁（1201～1274）的《橫截線原理書》才開始使三角學脫離天文學，成為純粹數學的一個獨立分支．而在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數學家是德國人雷格蒙塔努斯（1436～1476）．

近代三角學是從歐拉的《無窮分析引論》開始的．他定義了單位圓，并以函數線與半徑的比值定義三角函數，他還創用小寫拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三條邊，大寫拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三個角，從而簡化了三角公式．使三角學從研究三角形解法進一步轉化為研究三角函數及其應用，成為一個比較完整的數學分支學科．而由于上述諸人及19世紀許多數學家的努力，形成了現代的三角函數符號和三角學的完整的理論

第六講：近代數學的興起

在數學史上，十七世紀初到十九世紀20年代這段時間被稱為近代數學時期。對數的產生、牛頓、萊布尼茨的微積分、帕斯卡等人的概率論等都是這一階段的重要成果。

1．對數

16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，于是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。

德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列（叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent，有代表之意）。

英國的布里格斯在1624年創造了常用對數。

1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近（以e=2.71828...為底）。

最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數」，0.3010叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。后來改用 「假數」為「對數」。

2.解析幾何的誕生

幾何學及綜合幾何式的思考方式是希臘數學的傳統。幾何學幾乎是數學的同義詞，數量的研究也包含其中。這種趨勢直到十七世紀上半葉才漸有改變；那時候代數學已較成熟，同時科學發展也逼使幾何學尋求更有效的思考工具，更能量化的科學方法。在此雙重刺激之下，解析幾何學就誕生了。

在希臘人的觀點中，圓錐曲線就是圓錐被平面割截的截痕，但若死守這種觀點，圓錐曲線的性質就甚難推演。Apollonius 由圓錐截痕的定義導出圓錐曲線中一些幾何量所具有的代數關系式，然后以這些關系式為基礎再導出其它的性質。這些關系式，經稍微的變形，用現代的觀點來看是這樣的。

代數學本身尚未完全成熟也使解析幾何的想法未能迅速推廣開來。那時，負數的觀念并不成熟，尤其是，幾何的量不能與負數有關，所以許多可以統一處理的情形，都得分成好幾個狀況，分別處理，而且只有在第一象限才有圖形。

3.微積分的產生與發展

微積分思想的萌芽可以追溯到古希臘時代。公元前5世紀，德謨克利特創立原子論，把物體看成由大量的不可分割的微小部份﹝稱為原子﹞迭合而成，從而求得物體體積。公元前4世紀，歐多克索斯建立了確定面積和體積的新方法──窮竭法，從中可以清楚地看出無窮小分析的原理。阿基米得成功地把窮竭法、原子論思想和杠桿原理結合起來，求出拋物線弓形面積和回轉錐線體的體積，他的種種方法都孕育了近代積分學的思想。

事實上，17世紀早期不少數學家在微積分學的問題上做了大量的工作，但只停留在某些具體問題的細節之中，他們缺乏對這門科學的普遍性和一般性的認識。微積分學的最終創立要歸功于英國數學家牛頓和德國數學家萊布尼茲。

4.概率論的產生

（1）．概率的起源——隨機性游戲

作為一門經驗科學的古典概率論最直接起源于一種相當獨特的人類行為思想的探索：人們對于機會性游戲的研究思考。所謂機會性游戲是靠運氣取勝一些游戲，如賭博等。這種游戲不是哪一個民族的單獨發明，它幾乎出現在世界各地的許多地方，如埃及、印度、中國等。在自古至今各國文獻的記載中，有關賭博等機會性游戲的記載的文獻是非常豐富的，賭博手冊的存在、各種隨機發生器的發明，各個時代和國家經常展開的反對賭博的斗爭活動等都是早年機會性游戲流傳的明證。

帕斯卡和費馬正確解決了“點問題”的這一事件被伊夫斯）稱為“數學史上的一個里程碑”。

（2）．概率論與統計學的結合

概率論產生于人類的一種特殊的活動——機會性的游戲，而培育它成長壯大的其他因素卻豐富多彩。首先是一門與經濟、政治和宗教信仰等有密切關系的關于數據的學問——統計學對概率論發展產生了重大的影響。

正是伯努利具體地指出了概率論可以走出賭桌旁而邁向更廣闊的天地這一光輝前景。他的大數定律成為概率論從一系列人們視之為不怎么高尚的賭博問題轉向在科學、道德、經濟、政治等方面有價值和有意義的應用的一塊塌腳石，從而吸引了歐拉、拉格郎日、達朗貝爾、孔多塞、拉普拉斯等一大批數學家投身于其中。

（3）．概率論與分析學等領域的結合

伯努利的工作也顯示了逐漸發展的統計是概率論施展潛力的最重要的舞臺。但是由于統計學所研究的許多現象比賭博中的輸贏等現象要復雜得多，許多問題涉及到連續和無限的情形，這樣主要以離散組合方法為主的古典概率論就顯得不是很充分了。所幸的是十八世紀分析學的發展為概率論方法的擴展提供了及時的條件，于是分析的方法開始大規模地進入了概率論研究的領域。早期在這方面做出重要嘗試的是與伯努利幾乎同時對概率論做出重要貢獻的另一位數學家棣莫弗（1667—1754）。

在數學分析與概率論的結合方面做出有益嘗試的數學家們還有：伯努利家族眾多科學成員中的一員丹尼爾.伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）研究了由他的哥哥尼古拉.伯努利（Nikolaus）在1713年首先提出的著名的彼得堡（Petersburg）悖論。丹尼爾.伯努利在其工作中還明確地示范了怎樣將微積分（60年前發明的）應用于概率的研究。歐拉（Leonard Euler，1707—

1783）分類整理了許多概率問題；拉格朗日（Joseph Lagrange，1736—1813）更是系統地把微積分應用于概率論，由此把概率論推進了一大步。

（4）．概率論與社會科學的結合

在十八世紀，除了當時非常有效的數學工具——數學分析，以及統計學和誤差測量等方面與概率論的廣泛結合之外，概率論發展的另一個重要特征就是它的應用范圍大幅度地向社會學領域中擴展，這種傾向與當時的社會精神氛圍有著極其密切的關系。在十八世紀，“理性”是貫穿始終的一個中心，這個詞表達出了這個世紀的人們的希望和為之奮斗的一切東西。所謂理性一般是指正確方法的關鍵，它也指自然界的秩序，也表示邏輯上有效的論證，就像數學中的論證那樣。所以，數學一直被作為秩序和理性的典范。而此時正是經典的自然科學領域結出輝煌碩果的時期，許多知識分子也希望建立一門像自然科學那樣以數學的方法為基礎的關于人和社會的科學。這一切與自笛卡爾以來人們所認為的數學具有普遍特征的觀點是一脈相承的。

第七講：近代數學的發展

十九世紀二十年代以來，數學發展的主要特征是空前的創造精神和高度的嚴格精神相結合，這個世紀的數學成果超過以往所有數學成果的總和，其中最典型的成就應當屬分析學的嚴格化；射影幾何的復興及非歐幾何的誕生；代數學中群論和非交換代數學的產生；以及公理化運動化的開端等。這些事件具有重大的意義，從某種程度來說它們改變了人類的思維方法，并且最終影響到人們對數學的本性的理解，這些事件也深深地影響了二十世紀數學的發展趨勢，主要反映在純粹數學方面。

1．幾何學的發展

（1）射影幾何學的復興

19世紀，幾何學領域的首先的一個突出的進展是關于射影幾何學的研究。

射影幾何學討論平面或空間圖形的射影性質。所謂射影性質就是在射影變換下保持不變的幾何性質，如三點共線、三線共點等，這些性質如此眾多，且各不相同，因此，為了使這繁雜的知識變得有條理，人們常采取建立在定理的推演方法的基礎上的分類原則。按照這種分類原則可以區分出“綜合”與“分析”兩大類方法。綜合法就是歐幾里得公理化方法，它將學科建立在純粹的幾何基礎之上，而與代數及數的連續概念無關，其中的定量都是從一組稱為公理或公設的原始例題推導出來的。分析法則是建立在引入數值坐標的基礎上，并且應用代數的技巧。這種方法給數學帶來了深刻的變化，它將幾何、分析和代數統一成為一個有機的體系。

（2）非歐幾何的創立

19世紀幾何學最重要的成就，應當首推30年代創立的非歐幾何學。

非歐幾何的歷史，便開始于努力清除對歐幾里得平行公理的懷疑。據說，在歐幾里得以后果的兩千多年的時間里，幾乎難以發現一個沒有試證過第五公設的大數學家。但是，兩千多年來許多數學這在這方面的努力都失敗了。這是因為：除了他們一直沒有找到一個比平行公理更好的假設之外，在他們的每一個所謂“證明”中，都自覺不自覺、或明或暗地引進了一些新的假設，而每個新假設都與第五公設等價：即在某給定的公理的基礎上加上第五公設可以推導出這一命題；反之；反之在此組公理基礎上加上這個命題也可以推導出第五公設。所以，在本質上他們并沒有證明第五公設，只是在整個公理體系中，把第五公設用等價命題來代替罷了。例如：公元4世紀的普洛克拉斯（Proclus）試圖通過把平行于已知直線的線定義為和已知直線有給定固定距離所有點的軌跡的方法，來廢除特殊的平行公理，但是他沒有意識到，他只是把困難轉移到另一個地方罷了，因為，必須證明這樣的點的軌跡的確是一條直線，當然證明這一點是困難的。但如果承認這個命題是一個公理，那么容易證明：這個公理和平行公理是等價的。

到17、18世紀，許多數學家，如意大利耶穌會教士薩開里（Girolano Sacheri，1667-1733）、瑞士的蘭伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）、法國的分析數學家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）和勒讓德（Legendre，1752-1833）、匈牙利的W·波

爾約（WBolyai，1775-1813）等，為了試證平行公設，而改用反證法，即從第五公設不成立的情況著手，追窮它能否得出與已知定理相矛盾的結果。如果得不出，它又會產生怎樣的事實。實際上，這樣的思想方法，已經開辟了一條通向非歐幾何的道路，并且得出了許多耐人尋味的事實。而這些事實正是從第五公設不成立這一假定下推導出來的，這恰恰就是非歐幾何學中的定理。

羅巴切夫斯基（1793-1856）于1826年2月在喀山大學數理系的一次會議上提出了關于非歐幾何的思想。1829年，他正式發表了題為《論幾何學基礎》的論文，以后，他又發表了題為《具有平行的完全理論的幾何新基礎》等多篇著作，論述他關于平行公設的研討以及對新創立幾何體系的探索。

到了19世紀末期，非歐幾何逐漸被人們所接受，非歐幾何的產生具有極為深遠的意義，它把幾何學從傳統的模型中解放出來，“只有一種可能的幾何”這個幾千年來根深蒂固的信念動搖了，從而為創造許多不同體系的幾何打開了大門。1873年，一位英國數學家把羅巴切夫斯基的影響比作由哥白尼的日心說所引起的科學革命。希爾伯特也稱非歐幾何是“這個世紀的最富有建設性和引人注目的成就”。

2.代數學的發展

（1）群論的誕生

群的思想起源于求解高次方程的根的問題。在18世紀末和20世紀初，代數學中的中心問題之一仍是代數方程的代數解法，這個問題的根本困難在于求一個未知數的n次代數方程的解法，可以用系數的加、減、乘、除和開方的有限次運算表示出根的公式，也稱根式解法。

19世紀末期，群論幾乎滲入到當時數學的各個領域中去，例如1872年，克萊因在他著名的“埃爾朗根綱領”中指出，變換群可用來對幾何進行分類；F·克萊因和龐加萊在研究自守函數的過程中曾用到其它類型的無限群；1870年左右，S·李開始研究連續變換群的概念，并用它們闡明微分方程的解，將微分方程進行分類；在代數中，群作為一個綜合的基本結構成為抽象代數在20世紀興起的重要因素；此外，群論在近代物理學中也有重要的應用。

（2）非交換代數學的產生 1．代數結構

在19世紀早期，代數和幾何有著相似的經歷，人們把代數單純地看作是符號化的算術，也就是說，在代數中，凡量都可以用字母表示，然后按照對數字的算術運算法則對這些字母進行計算，例如，這些運算法則中最基本的五條是：加法交換律、乘法交換律、加法結合律、乘法結合律、乘法在加法上的分配律。而隨著伽羅瓦的群的概念的引入，19世紀中葉的代數在保持上述這種基礎的同時，又把它大大地推廣了。這時，在代數中還考察比數（自然數、整數、負數等）具有更普遍得多的性質的“數”——元素。比如，上述關于數的五條基本性質，也可以看作是其它完全不同的元素體系的性質，也就是說，存在有共同代數結構的公設，并且，邏輯上隱含于這些公設的任何定理，可被用于滿足這五條基本性質的任何元素來解釋。從這個觀點上說，代數不再束縛于算術上，代數就成了純形式的演繹研究。

2．向量

19世紀后期，復數成為研究平面向量的有效工具。但是，復數只能表示平面向量，而物理學中處理的量涉及的總是三維空間向量。困此，迫切需要一種能處理空間向量的數學理論。四元數的誕生自然引起了很大的反響，數學物理家們從四元數中找到了處理空間向量的數學理論，因為四元數中含有三維向量的標準研究式xi+yj+zk。但是，在哈密頓那里，向量只是四元數的部分，而不是作為獨立的數學實體處理的。從四元數到向量需要邁出主要一步是把向量從四元數中獨立出來。電磁理論的發明者，偉大的英國數學物理學家之一麥克斯韋（1831-1879）在區分出哈密頓的四元數的數量部分和向量部分的方向上邁出了第一步。其后，在19世紀80年代初期由數學物理學家吉布斯（1839-1903）和希維賽德（1850-1925）各自獨立地開創了一個獨立于四元數的新課題——三維向量分析。

3．矩陣

另一個不可交換的代數——矩陣理論是英國數學家凱萊創造的。他是在研究線性變換下的不變問題時，為簡化記號引入矩陣概念的。凱萊定義了兩個矩陣相等、兩個矩陣的乘法、矩陣的加法。在所得到的矩陣代數中，可以證明：乘法不滿足交換律。

總之，正象非歐幾何的創立為新幾何學的創立開辟了道路一樣。四元數、超復數、向量、矩陣等新的代數體系的出現，也成為代數學上的一次革命。它們首先把數學家們從傳統的觀念中解放出來，并為新的代數學——現代抽象代數學的創立打開了大門。

3．分析學的發展

（1）微積分的嚴格化

自17世紀中葉微積分建立以后，分析學各個分支象雨后春筍般迅速發展起來，其內容的豐富，應用的廣泛使人應接不暇。它的高速發展，使人們無暇顧及它的理論基礎的嚴密性，因而也遭到了種種非難。到19世紀初，許多迫切的問題得到了基本解決。大批數學家又轉向了微積分基礎的研究工作。以極限理論為基礎的微積分體系的建立是19世紀數學中最重要的成就之一。

微積分中，這種缺乏牢固的理論基礎和任意使用發散級數的狀況，被當時一些數學家認為是數學的恥辱。這些問題，雖然經過了整整一個半世紀的修正和改進，仍未得到完滿的解決。但是人們已經從正反兩方面積累了豐富的材料，為解決這些問題準備了條件。從19世紀20年代起，經過許多數學家的努力，到19世紀末，微積分的理論基礎基本形成。在這方面做出突出貢獻的主要有數學家波爾查諾、柯西、魏爾斯特拉斯等。

集合論的建立

在分析學的重建運動中，德國數學家康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。

但是隨著歲月的流逝，集合論日臻完善，并且以其巨大的生命力展現在人們面前。集合論的誕生被譽為是數學史上一件具有革命性意義的事件，英國哲學家羅素把康托爾的工作稱為“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的成就。”康托爾生前曾充滿自信地說：“我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人到頭來都將搬起石頭砸自己的腳??。”歷史的事實證實了這一點，康托爾和他它的集合論最終獲得了世界的承認，至今享有極高的聲譽，它已經深入到數學的每一個角落。正如大數學家希爾伯特所指出的那樣“沒有人能把我們從康托爾所創造的樂園里趕走！”

4.公理化運動

概括地說，公理觀點可以敘述如下：在演繹系統中，為了證明一個定理，就必須證明這個定理是某些以前已經證明過的命題的必然的邏輯推論，而這些命題本身又必須用其它命題來證明，等等。這個過程不可能是無限的，因此，必須有少數不定義的術語和公認成立而不要求證明的命題（稱為公理或公設），從這些公理出發，我們可以試圖通過純邏輯的推理來導出所有其它的定理。如果科學領域的事實，有這樣的邏輯順序，那么就說這個領域是按公理形式表示了。

（1）、算術的公理化

對于分析，幾何等分支的基礎問題的進一步探討，使得數學家們關心起算術的基礎。然而，直到19世紀末，算術中一些最基本的概念，如：什么是數？什么是0？什么是1？什么是自然數的運算等，卻很少有人解釋過。

（2）初等幾何的公理化

自從歐幾里得時代以來，幾何學就成為公理化學科的典范，很多世紀，歐幾里得體系是被集中研究的對象。但是在19世紀后期，數學家們才明白：如果一切初等幾何都要從歐氏系統推演出來，那么歐氏公理必須加以修改和補充。

（3）其它數學對象的公理化

公理化的思想風靡于世，它日益滲透到每一個領域中去。例如，在19世紀初解代數方程而引進的群及域的概念，在當時都是十分具體的，如置換群。只有到19世紀后半葉，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻畫它，群的公理由四條組成，即封閉性公理，兩個元素相加（或相乘）仍對應唯一的元素；運算滿足結合律；有零元及逆元素存在，等等。公理化的思想深深地影響著現代數學的發展。20世紀初的數學發展的趨勢之一就是數學分支的公理化。例如1933年，蘇聯數學家A.H.柯爾莫戈洛夫在他的《概率論基礎》一書中給出了一套嚴密的概念論公理體系。特別應當指出的是：公理化運動最大的成果之一是它已經創立了一門新學科——數理邏輯。

第八講 現代數學概觀

“現代數學”一詞已為人們所常用，但現代數學時期卻很難用一個確定的年代作為開始的時間，一般來講，是從20世紀初開始的。現在，20世紀即將結束，它留給人們一筆豐富的數學財產。這個世紀數學發展速度之快、范圍之廣、成就之大、遠遠超出人們的預料，數學的發展在改變著人們對數學的認識。數學本身也在不斷分化出更多的二級、三級，甚至更細小的學科和思想，而在不同的學科之間，幾乎沒有共同的語言。在這里我們所能給出的，僅僅是極為粗略的概述。

1．集合論悖論與數學基礎的研究

康托的集合率與數學的關系從來沒有順利過。1900年左右，正當康托的思想逐漸被人接受時，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論里的邊緣被發現了。開始，人們并不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數學中的奇特現象。人們認為，集合的概念結構的組成還沒有達到十分令人滿意的程序，只需對基本定義修改，一切事情都會好起來。

在有限集合中，推理有效的邏輯法則的一個特殊例子是排中律，布勞威爾反對把它應用于無限集中。支撐這個法則的假設是每一個數學陳述都可以判斷是真或假，而不依賴于我們用于判斷真值的方法。對布勞威爾來說，純粹地假設的真值是一個錯誤。只有一個自明的構造通過有限步驟建立起來時，才可以說斷定一個給定的數學陳述是真的。因為并不能預先保證能夠找到這樣的一個構造。所以我們就無權假設有一個陳述要么是真的，要么是假的。例如：布勞威爾問：“在π的小數表達式中有十個連續的數學形成0123456789的形式，這個陳述是真還是假？”因為這顯然需要我們判定在π中有0123456789形式，或者證明沒有這樣的形式，但是因為π是一無窮小數，也就不存在作出這個決定的方法，所以人們就不能應用排中律說這個陳述是真或假的。另一方面，從直覺主義者的立場來說，斷言 或是素數或是合數，而不必說二者之一成立。因為有一種方法，（如果不怕麻煩去應用它的話），也就是一個有效法則能夠決定兩者之一哪個是正確的。

拋棄排中律和拋棄以此為根據的非構造的存在性證明，對希爾伯特來說是過于激進的一步，以至于不能接受。他說：“禁止數學家用排中律，就象禁止天文學家用望遠鏡或拳擊者用拳一樣。”對他來說，布勞威爾不會贊同證明傳統數學是相容的能夠恢復數學的意義的主張。這樣他寫道：“用這種方式不會得到任何有數學價值的東西，沒有被悖論制止的一個假的理論仍然是假的。就象一個沒有被法庭禁止的犯罪行為仍然是犯罪一樣。”

2.純數學的發展

20世紀初，除了圍繞驚心動魄的關于數學基礎所展開的爭論之外，由19世紀70年代以來發展起來的數學的抽象化和公理化的趨勢一直受人重視，人們已經意識到抽象理論幾乎具有囊括一切的本領。建立起這樣的抽象理論成為許多數學家的奮斗目標，而這些人又影響到他們的弟子以及以后幾代數學家，使得他們不但非常重視數學的公理化、嚴密性和抽象性，而且傾向于將這些特性永遠看作數學的本質。在20世紀產生的眾多的純粹數學中，最具有代表性的應當屬拓撲學、泛函分析和抽象代數學。這三門學科可以說是現代數學的三大理論支柱。20世紀，圍繞著這三個領域產生了形形色色的數學分支，時至今日，人們

似乎形成了這樣的一個觀念，一個人不能閱讀用抽象代數、拓撲和泛函分析的語言寫成的書籍，就不能自認為真正掌握了現代數學知識，下面簡略介紹這三門學科的歷史。

（1）拓撲學

有關拓撲學的某些問題可以追溯到17世紀，1679年萊布尼茲發表《幾何特性》一文，試圖闡述幾何圖形的基本幾何特點，采用特別的符號來表示它們，并對它們進行運算來產生新的性質。萊布尼茲把他的研究叫做位置分析或位置幾何學，并另外宣稱應建立一門能直接表示位置的真正幾何的學問，這是拓撲學的先聲。

1736年，歐拉解決了著名的哥尼斯堡七橋問題。這個問題是，能否在散步中連續地經過如圖（6-1的左圖）所示的七座橋且每座橋只走一次。歐拉解決問題的方式具有拓撲意義，他簡化了這個問題的表示法，用點代表陸地，用線段或弧代表橋，將問題改變成：能否一筆畫出下圖中的右圖。

（2）泛函分析

泛函分析有兩個源頭。第一個源頭是變分法。早在17世紀末18世紀初，約翰·伯努利關于最速降線的工作就可以看成是泛函數研究的開端。這個問題及后來提出的各種變分問題一般都可歸結為求形如 或更復雜一些的積分的極值。這里函數 是在某個集合Y上變動。變分法研究以函數y為自變元的函數J(y)。把這里的y視為點，Y視為函數空間的觀念是在很晚才形成的。泛函的抽象理論開始于意大利數學家沃爾泰拉（1860-1940）關于變分法的工作，他研究所謂“線的函數”時指出：每一個線的函數是一個實值函數F，它的值取決于定義在某個區間[a, b]上的函數y(x)的全體。全體y(x)被看作一個空間，每個y(x)看作空間中的一個點。對于y(x)的函數J(y)，沃爾泰拉曾引進連續、微商和微分的定義。法國數學家阿·達馬首先稱這種函數的函數J(y)為“泛函”，而阿·達馬的學生萊維則給泛函的分析性質的研究冠上了泛函分析的名稱。

（3）抽象代數學

抽象代數是20世紀初期的數學中最偉大的成果之一，它的產生可以追溯到19世紀。在19世紀，代數學中發生了幾次革命性的變革最終促進了抽象代數學的產生，首先是由于阿貝爾和伽羅瓦等人的工作結束了代數學中以解方程為主的時代，并促使人們對于代數學所研究的對象采取一種更為抽象的形式，并且，他們的工作也是后來抽象群論的第一個來源，自19世紀以來，引起代數學的變革并最終導致抽象代數學產生的工作還有許多，這些工作大致可以分屬于群論、代數理論和線性代數這三個主要方面。到19世紀末期，數學家們從許多分散出現的具體研究對象抽象出它們的共同特征來進行公理化研究，完成了來自上述三個方面工作的綜合，至此可以說，代數學已發展成為抽象代數學。近代一些德國數學家對這一綜合的工作起到主要作用，自十九世紀末戴德金和希爾伯特的工作開始，在韋伯（1842-1913）的巨著《代數教程》的影響下，施泰尼茨（1871-1928）于1911年發表了重要論文《域的代數理論》，對抽象代數學的建立貢獻很大。

（4）布爾巴基學派

隨著三大理論支柱的建立，20世紀以來，數學越來越向著日益抽象的趨勢發展，三十年代，對于推動這種趨勢進一步發展的是尼古拉·布爾巴基的工作。

1939年，布爾巴基出版了一部書名樸實的長篇巨著——《數學原理》，全書分成許多卷，這本書馬上引起了數學界極大關注。但是，關于書的作者人們卻一無所知，1949年，有人在一篇有關布爾巴基教授的生平簡介中提到，他從前是波爾達維亞皇家科學院院士，當時居住在法國的南錫。但是以后不久，大約在1953-1954年，他似乎又與南加哥大學數學研究所有了聯系。

3.應用數學的發展

20世紀現代數學變得抽象化的同時，數學應用的范圍也變得更加廣泛了。數學不僅僅應用于天文、物理、力學等傳統的領域，而且涉及到了人們以往認為的與數學的相互關系不大的生物、地理、化學等領域。今天，可以說幾乎所有的科學領域都滲入了數學的概念和方法，而數學本身由于在這些學科上的應用也不斷地豐富起來，數理統計學和生物數學的興起和發展充分說

明了這一點。

與數理統計學的興起和發展相互推動的是另一門應用學科——生物數學的興起。以往生物學的研究工作大多停留在描述生命現象和定性研究的階段，對數學的需求自然顯得不太迫切，許多人對于“生物學的研究中究竟能用到多少數學知識？”這個問題持消極態度，但事實證明生物學的深入研究必然會遇到大量數學問題。生物界現象的復雜程度遠遠超過物理現象和化學現象。特別是在定量研究方面更加困難，因此，進行研究所使用數學工具必然多樣化。如基因的地理分布、種群的年齡分布、森林病毒的蔓延等等。這些問題的研究都要涉及到種群大小的計算、估計和預測，這是概率論的基本內容。沃爾泰拉模型中用的微分方程、進化論和試驗設計發展了數理統計學；遺傳結構離不開抽象代數等等。這些都是數學與生物學相互結合的典型事例。到現在為止，生物數學已經有了生物統計學、生物微分方程、生物系統分析、生物控制、運籌、對策等分支。有人預言：“21世紀可能是生物數學的黃金時代。”

應用數學最迅猛的發展開始于四十年代。第二次世界大戰期間反法西斯戰爭的需要，以及戰后經濟發展的需要等大大促進了該學科的發展。例如：

計算機的出現，使計算數學迅猛發展。一些由于計算量過大而擱置不用的應用方法，這時獲得了新的實用價值。線性規劃、動態規劃、優選法等最優化理論迅速成長起來。應用數學有了電子計算機，如虎添翼，20世紀初期強調抽象理論的趨勢至此有了新的變化。

4.六十年代以后的數學

20世紀60年代以后，數學理論更加抽象。這個時期，除了某些重大的傳統科目，如集合論、代數、拓撲、泛函、分析、概率論、數論等等學科有許多重大的進展外，還有許多新興的分支出現，其中，最引人注目是：非標準分析、模糊數學、突破理論。此外，由于電子計算機的廣泛應用，使得數學發展的趨勢又有了新變化。

（1）非標準分析

在牛頓—萊布尼茲時代，微積分的基礎理論是不嚴格的；那時，牛頓、萊布尼茲的無窮小游移不定——有時被認為是0，有時被認為不是0，他們自己不能自圓其說，因此，遭到了很多的批評，直到19世紀，才由柯西、波爾查諾、魏爾斯特拉斯等人把微積分的理論建立在嚴格的極限理論基礎上。從此，分析中的無窮小量和無窮大量作為數就再也不存在了，偶而提到，也只是“某變量趨于無窮大”之類的句子，只不過是習慣性的說法而已。但是，1960年秋，羅賓遜（Robinson，Abraham，1918-1974，生于德國人，猶太人，1962年去美國）在普林頓大學的一次報告中卻指出，利用新的方法可以使分析學中久已廢黜的“無窮小”、“無窮大”的概念重新納于合法的地位。1961年在《荷蘭科學院報告》上刊登了羅賓遜的題為“非標準分析”的文章，表明這一新分支已經形成。

（2）模糊數學

經典集合論已經成為現代數學的基礎。在經典集合論中，當確定一個元素是否屬于某集合時，只能有兩種回答：“是”或者“不是”，它只能表示出現實事物的“非此即彼”狀態，然而在現實生活中，卻有著大量的“亦此亦彼”的模糊現象，比如“高個子”、“年輕人”、“漂亮的人”等一些更復雜的情況，這樣一類問題以經典集合論為基礎的數學就不能處理。為了解決這類矛盾，1965年，美國加利福尼亞州立大學的扎德（Zadeh，L.A，1921-）發表了論文《模糊集合》，其中，他提出了一種嶄新的數學思想。他引進了“隸屬度”的概念。

此后，在電子計算機的配合下，形成了一個數學的新分支——模糊數學，并且很快應用到各個領域中去。（3）突變理論

如果說微積分的主要研究對象是連續變化的現象，那么突變理論的基本思想則是運用拓撲學、奇點理論和結構穩定性等數學工具描述客觀世界各種形態、結構的突然性變化，如火山爆發、胚胎變異、神經錯亂、市場崩潰等一系列不連續的變化現象。

但是，突變理論產生的時間畢竟很短，它的理論還遠不夠完善，對它也還存在著不同的意見和看法，因此，現在對它做出更準確的評價，似乎為時尚早。

（4）電子計算機對數學發展的影響

20世紀科學技術的卓越成就之一是電子計算機的產生。自從1944年第一臺計算機問世以來，計算機已經深深地影響到整個人類的生活，包括數學在內，人們普遍認為，電子計算機的出現標志著一個新時代——信息時代的到來。

1．四色問題的解決

四色問題稱四色猜想，1852年由倫敦大學的學生佛·格思里（Francis Guthrie）提出，當時他觀察到：如果近鄰區域著以不同的顏色，那么用四種顏色足夠給任何畫在平面上的地圖著色。他由此提出疑問：是否能夠從數學上對此加以證明。

2．幾何學的新動向

自歐幾里得時代以來，幾何學一直是基礎數學的一個主要支柱，由于本世紀中期的新數學運動的影響，幾何學經歷了幾十年衰退，但是到了七十年代，數學中的幾何學觀念又開始復興，這主要靠的是新理論工具的開發和計算機圖像顯示的威力，客觀地說，幾何學在數學上又在起著核心作用，就如同在古希臘時代一樣。舉例來說，在1986年的3名菲爾茲獎獲得者中，幾何學占了2名，這是為了獎勵邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙·唐納森（Simou Donaldson）在四維流形幾何方面的貢獻。

計算機繪圖為把幾何學技術推廣到其它數學領域提供了新的有效手段。開始相互合作，最近在美國明尼蘇達大學進行的幾何學大型計算的研究項目就是一個例子。

3．非線性動力學

對非線性問題（如流體的紊流）的數學的分析只是在最近幾年才能進行，這是因為新的解析法、巧妙的數值模擬和計算機圖象顯示，使這類問題的解決已成為可能。應用范圍從機翼剖面的設計到等離體物理學，從油料回收到燃燒過程的研究等。